分点公式3

点の一致の問題です。分点を含む証明問題はベクトルと相性がよいです。

1.(大分大)
\bigtriangleupABCにおいて,辺ABを2:1に内分する点をP,辺ACを1:2に内分する点をQとし,辺BC上に点Rがあるとする.\bigtriangleupABCの重心Gと\bigtriangleupPRQの重心Hが一致するとき,\mbox{BR}:\mbox{RC}を求めよ.

2.(京都大)
正三角形ABCの辺AB上に点\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2が,辺BC上に点\mbox{Q}_1,~\mbox{Q}_2が,辺CA上に点\mbox{R}_1,~\mbox{R}_2があり,どの点も頂点とは一致していないとする.このとき,三角形\mbox{P}_1\mbox{Q}_1\mbox{R}_1の重心と三角形\mbox{P}_2\mbox{Q}_2\mbox{R}_2の重心が一致すれば,\mbox{P}_1\mbox{P}_2=\mbox{Q}_1\mbox{Q}_2=\mbox{R}_1\mbox{R}_2が成り立つことを示せ.

3.(新潟大)
平行四辺形ABCDにおいて,4辺AB, BC, CD, DA上にそれぞれE, F, G, Hを,HF//AB, EG//BCとなるようにとり,2直線EFとACの交点をM,2直線HGとACの交点をNとする.\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AE}}=p\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AD}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{AH}}=q\vec{b}とおくとき,\dfrac{1}{2}<p<1,~\dfrac{1}{2}<q<1であるとして,
(1) \overrightarrow{\mbox{EF}},~\overrightarrow{\mbox{HG}}\vec{a}\vec{b}で表せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{AM}}=\overrightarrow{\mbox{AE}}+s\overrightarrow{\mbox{EF}},~\overrightarrow{\mbox{AN}}=\overrightarrow{\mbox{AH}}+t\overrightarrow{\mbox{HG}}とするとき,s,~tpqで表せ.
(3) 2点M, Nは一致することを示せ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ