分点公式３

2017年12月23日

点の一致の問題です。分点を含む証明問題はベクトルと相性がよいです。

１．(大分大)
$\bigtriangleup$ ABCにおいて，辺ABを $2:1$ に内分する点をP，辺ACを $1:2$ に内分する点をQとし，辺BC上に点Rがあるとする． $\bigtriangleup$ ABCの重心Gと $\bigtriangleup$ PRQの重心Hが一致するとき， $\mbox{BR}:\mbox{RC}$ を求めよ．

２．(京都大)
正三角形ABCの辺AB上に点 $\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2$ が，辺BC上に点 $\mbox{Q}_1,~\mbox{Q}_2$ が，辺CA上に点 $\mbox{R}_1,~\mbox{R}_2$ があり，どの点も頂点とは一致していないとする．このとき，三角形 $\mbox{P}_1\mbox{Q}_1\mbox{R}_1$ の重心と三角形 $\mbox{P}_2\mbox{Q}_2\mbox{R}_2$ の重心が一致すれば， $\mbox{P}_1\mbox{P}_2=\mbox{Q}_1\mbox{Q}_2=\mbox{R}_1\mbox{R}_2$ が成り立つことを示せ．

３．(新潟大)
平行四辺形ABCDにおいて，4辺AB, BC, CD, DA上にそれぞれE, F, G, Hを，HF//AB, EG//BCとなるようにとり，2直線EFとACの交点をM，2直線HGとACの交点をNとする． $\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AE}}=p\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AD}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{AH}}=q\vec{b}$ とおくとき， $\dfrac{1}{2}<p<1,~\dfrac{1}{2}<q<1$ であるとして，
(1) $\overrightarrow{\mbox{EF}},~\overrightarrow{\mbox{HG}}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表せ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{AM}}=\overrightarrow{\mbox{AE}}+s\overrightarrow{\mbox{EF}},~\overrightarrow{\mbox{AN}}=\overrightarrow{\mbox{AH}}+t\overrightarrow{\mbox{HG}}$ とするとき， $s,~t$ を $p$ と $q$ で表せ．
(3) 2点M, Nは一致することを示せ．

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