分点公式４

2017年12月23日2018年1月7日

次は3点が一直線上にあることの証明問題です。3点が一直線上にあるとき3点は共線であるといいます。

１．
$\bigtriangleup$ ABCの辺BC, CAをそれぞれ $2:1$ に内分する点をD, Eとし，また，線分ADを $3:4$ の比に内分する点をFとする．このとき，3点B, F, Eは同一直線上にあることを証明し， $\mbox{BF}:\mbox{FE}$ を求めよ．

２．(新潟大)
$\mbox{AD}//\mbox{BC},~\mbox{BC}=3\mbox{AD}$ である台形ABCDにおいて，ABを $1:2$ に内分する点，BCを $2:3$ に内分する点をそれぞれE, Fとし，AFとBDとの交点をGとする．ベクトル $\overrightarrow{\mbox{BA}},~\overrightarrow{\mbox{BC}}$ をそれぞれ $\vec{a},~\vec{b}$ と表すとき，
(1) ベクトル $\overrightarrow{\mbox{BD}},~\overrightarrow{\mbox{BG}}$ を $\vec{a},~\vec{b}$ を用いて表せ．
(2) 3点C, G, Eは一直線上にあることを示せ．

３．(琉球大)
平行四辺形ABCDの辺ABの中点をEとし，また，対角線ACの延長線上に点Fを $\mbox{AC}=\mbox{CF}$ (CはAFの中点)となるようにとる．線分DFを $m:n$ の比に内分する点をGとする． $\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AD}}=\vec{b}$ とするとき
(1) $\overrightarrow{\mbox{AG}}$ を $\vec{a},~\vec{b}$ を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{EC}},~\overrightarrow{\mbox{EG}}$ を $\vec{a},~\vec{b}$ を用いて表せ．
(3) 3点E, C, Gが一直線上にあるとき， $m$ と $n$ の比 $m:n$ を求めよ．