分点公式5

2018年1月7日

次はベクトルの平行に関わる問題をいくつか。

1.(北海道教育大)
平行四辺形OABCにおいて,線分OAの中点をD,線分OCを\alpha:(1-\alpha)~(0<\alpha<1)に内分する点をEとする.さらに,直線AEと直線BDの交点をF,直線OFと直線ABの交点をGとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{b}として,\overrightarrow{\mbox{OF}}\alpha,~\vec{a},~\vec{b}で表せ.
(2) 直線AEと直線CGが平行になるように\alphaの値を定めよ.

2.(一橋大)
\bigtriangleupABCの3辺BC, CA, ABをt:(1-t)の比に内分する点をそれぞれ\mbox{A}_1,~\mbox{B}_1,~\mbox{C}_1とおき,\bigtriangleup\mbox{A}_1\mbox{B}_1\mbox{C}_1の3辺\mbox{B}_1\mbox{C}_1,~\mbox{C}_1\mbox{A}_1,~\mbox{A}_1\mbox{B}_1t:(1-t)の比に内分する点をそれぞれ\mbox{A}_2,~\mbox{B}_2,~\mbox{C}_2とおく.ただし,0<t<1とする.
(1) \bigtriangleup\mbox{A}_2\mbox{B}_2\mbox{C}_2の辺\mbox{B}_2\mbox{C}_2\bigtriangleupABCのいずれかの辺と平行となるtの値を求めよ.
(2) (1)のとき,\bigtriangleup\mbox{A}_2\mbox{B}_2\mbox{C}_2\bigtriangleupABCに相似であることを示し,その相似比を求めよ.

解答

3.(広島大)
四角形ABCDにおいて,三角形ABDの重心をP,三角形BCDの重心をQとする.ベクトル\overrightarrow{\mbox{DA}},~\overrightarrow{\mbox{D}B},~\overrightarrow{\mbox{DC}}をそれぞれ\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}とするとき,
(1) \overrightarrow{\mbox{PQ}}\vec{a},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{AQ}}=2\overrightarrow{\mbox{AP}}が成り立つとき,四角形ABCDは平行四辺形になることを示せ.
(3) (2)の条件に加え,さらに三角形BPQが正三角形のとき,\angleADCを求めよ.

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