共線条件1

2018年1月7日

共線条件の問題です。3点が同一直線上にあるとき3点は共線であるといいます。つまり3点の位置関係を表す言葉です。共線条件とは3点が同一直線上にある条件です。

1.(京都大)
同一直線上にない3点O, A, Bがある.点Pが直線AB上にあるための必要十分条件は
\overrightarrow{\mbox{OP}}=\lambda\overrightarrow{\mbox{OA}}+\mu\overrightarrow{\mbox{OB}} (\lambda+\mu=1,~\lambda,~\muは実数)
とかけることである.これを証明せよ.

2.(防衛大)
\bigtriangleupABCの辺AB, ACの延長上に点D, Eをそれぞれ\overrightarrow{\mbox{AD}}=3\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AE}}=2\overrightarrow{\mbox{AC}}となるようにとり,線分BEとCDの交点をFとする.また,直線AFと線分BC, DEとの交点をそれぞれP, Qとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{AF}}=m\overrightarrow{\mbox{AB}}+n\overrightarrow{\mbox{AC}}とするとき,m,~nの値を求めよ.
(2) \overrightarrow{\mbox{AP}}=p\overrightarrow{\mbox{AF}},~\overrightarrow{\mbox{AQ}}=q\overrightarrow{\mbox{AF}}とするとき,p,~qの値を求めよ.
(3) \bigtriangleupADQの面積は\bigtriangleupABPの面積の何倍か.

3.(福井大)
\bigtriangleupABCがある.つぎの(a), (b)の方法で,円\mbox{P}_1,~\mbox{Q}_1,~\mbox{P}_2,~\mbox{Q}_2,~\mbox{P}_3,~\mbox{Q}_3,~\cdotsを順次定めるものとする.
(a) 点\mbox{P}_1は辺ABを中点とし,点\mbox{Q}_1は線分\mbox{CP}_1を中点とする.
(b) \mbox{P}_n,~\mbox{Q}_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)が定まったとき,\mbox{P}_{n+1}は線分\mbox{AQ}_nの中点とし,\mbox{Q}_{n+1}は線分\mbox{CP}_{n+1}の中点とする.
いま,\overrightarrow{\mbox{AQ}_n}=a_n\overrightarrow{\mbox{AB}}+b_n\overrightarrow{\mbox{AC}}とおくとき,
(1) a_1,~b_1の値を求めよ.
(2) a_{n+1}a_nで表せ.また,b_{n+1}b_nで表せ.
(3) 一般項a_nおよびb_nを求めよ.
(4) 点\mbox{Q}_1,~\mbox{Q}_2,~\mbox{Q}_3,~\cdotsは同一直線上にあることを示せ.

解答

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