共線条件１

2017年12月25日2018年1月7日

共線条件の問題です。3点が同一直線上にあるとき3点は共線であるといいます。つまり3点の位置関係を表す言葉です。共線条件とは3点が同一直線上にある条件です。

１．(京都大)
同一直線上にない3点O, A, Bがある．点Pが直線AB上にあるための必要十分条件は
$\overrightarrow{\mbox{OP}}=\lambda\overrightarrow{\mbox{OA}}+\mu\overrightarrow{\mbox{OB}}$ ( $\lambda+\mu=1,~\lambda,~\mu$ は実数)
とかけることである．これを証明せよ．

２．(防衛大)
$\bigtriangleup$ ABCの辺AB, ACの延長上に点D, Eをそれぞれ $\overrightarrow{\mbox{AD}}=3\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AE}}=2\overrightarrow{\mbox{AC}}$ となるようにとり，線分BEとCDの交点をFとする．また，直線AFと線分BC, DEとの交点をそれぞれP, Qとする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{AF}}=m\overrightarrow{\mbox{AB}}+n\overrightarrow{\mbox{AC}}$ とするとき， $m,~n$ の値を求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{AP}}=p\overrightarrow{\mbox{AF}},~\overrightarrow{\mbox{AQ}}=q\overrightarrow{\mbox{AF}}$ とするとき， $p,~q$ の値を求めよ．
(3) $\bigtriangleup$ ADQの面積は $\bigtriangleup$ ABPの面積の何倍か．

３．(福井大)
$\bigtriangleup$ ABCがある．つぎの(a), (b)の方法で，円 $\mbox{P}_1,~\mbox{Q}_1,~\mbox{P}_2,~\mbox{Q}_2,~\mbox{P}_3,~\mbox{Q}_3,~\cdots$ を順次定めるものとする．
(a) 点 $\mbox{P}_1$ は辺ABを中点とし，点 $\mbox{Q}_1$ は線分 $\mbox{CP}_1$ を中点とする．
(b) $\mbox{P}_n,~\mbox{Q}_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ が定まったとき， $\mbox{P}_{n+1}$ は線分 $\mbox{AQ}_n$ の中点とし， $\mbox{Q}_{n+1}$ は線分 $\mbox{CP}_{n+1}$ の中点とする．
いま， $\overrightarrow{\mbox{AQ}_n}=a_n\overrightarrow{\mbox{AB}}+b_n\overrightarrow{\mbox{AC}}$ とおくとき，
(1) $a_1,~b_1$ の値を求めよ．
(2) $a_{n+1}$ を $a_n$ で表せ．また， $b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ．
(3) 一般項 $a_n$ および $b_n$ を求めよ．
(4) 点 $\mbox{Q}_1,~\mbox{Q}_2,~\mbox{Q}_3,~\cdots$ は同一直線上にあることを示せ．