共線条件2

2019年10月9日

次もよくある問題です。

1.
平面上に三角形OABと点Pがあり,\overrightarrow{\mbox{OP}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mbox{OA}}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{OB}}を満たしている.また,線分OPの延長が辺ABと交わる点をQとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OQ}}\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}}を用いて表せ.
(2) \mbox{OP}:\mbox{PQ}および\mbox{AQ}:\mbox{QB}を求めよ.
(3) 三角形POAと三角形PQBの面積の比を求めよ.

2.(摂南大)
\bigtriangleupABCと同一平面上に点Pがあり,3\overrightarrow{\mbox{PA}}+4\overrightarrow{\mbox{PB}}+5\overrightarrow{\mbox{PC}}=\vec{0}を満たすとき,\bigtriangleupABP, \bigtriangleupBCP, \bigtriangleupCAPの面積比を求めよ.

2を一般化したものです。

3.(信州大)
平面上に\bigtriangleupABCと点Pがあって
l\overrightarrow{PA}+m\overrightarrow{PB}+n\overrightarrow{PC}=\vec{0}
が成り立っている.ただし,l,~m,~nは正の数とする.
(1) 点Pが\bigtriangleupABCの内部にあることを証明せよ.
(2) \bigtriangleupPBC, \bigtriangleupPCA, \bigtriangleupPABの面積の比を求めよ.

このベクトルの面積比の公式から三角形の五心の位置ベクトルの公式を得ることができます。

ベクトルの面積比の公式

4.(名古屋大)
同一直線上にない異なる3点A, B, Cに対し,条件k\overrightarrow{\mbox{PA}}+4\overrightarrow{\mbox{PB}}+\overrightarrow{\mbox{PC}}=\vec{0},~k>-5をみたす点Pがある.
(1) kk>-5の範囲の任意の点をとるとき,点Pの集合はどのような図形となるか.
(2) 線分ACを2:1に内分する点をDとする.点Pが線分DB上にあるときのkの値を求めよ.また,そのとき,\mbox{DP}:\mbox{PB}を求めよ.
(3) \mbox{BA}=\mbox{BC}であるとき,線分PBが\angle\mbox{ABC}を2等分するようなkの値を求めよ.

解答

5.(慶応大)
平面上に平行四辺形ABCDと点Pがあり,4\overrightarrow{\mbox{AP}}+3\overrightarrow{\mbox{BP}}+2\overrightarrow{\mbox{CP}}+\overrightarrow{\mbox{DP}}=\vec{0}が成り立っているとする.このとき\overrightarrow{\mbox{AP}}\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AD}}を用いて表すと\overrightarrow{\mbox{AP}}=(~~~~~)と表せる.これより,直線APと直線BDの交点をQとして,\overrightarrow{\mbox{BQ}}=s\overrightarrow{\mbox{BD}},~\overrightarrow{\mbox{AP}}=t\overrightarrow{\mbox{AQ}}とすると,s=(~~~~~),~t=(~~~~~)である.また,平行四辺形ABCDの面積をS,三角形PABの面積をS_1,三角形PCDの面積をS_2とすると,\dfrac{S_1}{S}=(~~~~~),~\dfrac{S_2}{S}=(~~~~~)である.

解答

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