共線条件3

2018年1月7日

次も頻出問題です。

1.(九州芸工大)
0<t<1とする.三角形OABにおいて,辺OAをt:(1-t)に内分した点をP,辺OBを(1-t):tに内分した点をQとする.線分AQと線分BPの交点をR,直線ORと辺ABの交点をSとする.\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}}とおくとき
(1) \overrightarrow{\mbox{OR}}\vec{a},~\vec{b},~tを用いて表せ.
(2) \dfrac{\mbox{OR}}{\mbox{OS}}のとりうる値の範囲を求めよ.

解答

2.(弘前大)
\bigtriangleupOABにおいて,\overrightarrow{\mbox{OG}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{OA}}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{OB}}となる点Gをとる.点Gを通り,辺OA, OBと交わる直線を考える.その直線と辺OA, OBとの交点をそれぞれP, Qとする.\bigtriangleupOAB, \bigtriangleupOPQの面積をそれぞれS,~Tとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OP}}=p\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OQ}}=q\overrightarrow{\mbox{OB}}とするとき,\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=3を満たすことを示せ.
(2) \dfrac{4}{9}S \leqq T \leqq \dfrac{1}{2}Sであることを示せ.

解答

3.(横浜国立大)
\bigtriangleupABCがあり,AB=3, BC=7, CA=5を満たしている.\bigtriangleupABCの内心をI,\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{AC}}=\vec{c}とおく.
(1) \overrightarrow{\mbox{AI}}\vec{b}\vec{c}を用いて表せ.
(2) \bigtriangleupABCの面積を求めよ.
(3) 辺AB上に点P,辺AC上に点Qを,3点P, I, Qが一直線上にあるようにとるとき,\bigtriangleupAPQの面積Sのとりうる値の範囲を求めよ.

4.(九州大)
\bigtriangleupOABにおいて,点Gを\overrightarrow{\mbox{OG}}=k(\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}})である点とする.また,2点P, Qを\overrightarrow{\mbox{OP}}=p\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OQ}}=q\overrightarrow{\mbox{OB}}~(0<p<1,~0<q<1)である点とする.
(1) 点Gが\bigtriangleupOABの内部にあるとき,kのみたすべき条件を求めよ.ただし,\bigtriangleupOABの内部とは,\bigtriangleupOABで囲まれる部分からその周を除いた部分をさす.
(2) \bigtriangleupOABと\bigtriangleupOPQの面積をそれぞれS,~S'とするとき,\dfrac{S'}{S}p,~qを用いて表せ.
(3) 3点G, P, Qが同一直線上にあるとき,kp,~qを用いて表せ.
(4) k=\dfrac{1}{4}であって,3点G, P, Qが同一直線上にあるとき,\dfrac{S'}{S}の最小値を求めよ.

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