内積1

2017年12月27日

ベクトルの内積の問題です。内積を導入することによって、ベクトル空間に長さや角度を定義することができるようになり、ベクトル空間が計量ベクトル空間になります。まず矢線ベクトルの内積から。

1.
Ⅰ.1辺の長さが1である正三角形ABCにおいて,辺BCの中点をMとするとき,次の内積を求めよ.
(1) \overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AC}}
(2) \overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BC}}
(3) \overrightarrow{\mbox{AM}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BC}}
(4) \overrightarrow{\mbox{AM}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AC}}
Ⅱ.三角形OABにおいて,\mbox{OA}=3,~\mbox{OB}=2,~\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}=3であるとき,\angle\mbox{AOB}の大きさを求めよ.

次に成分表示 (数ベクトル)の内積です。これらは同値です。

2.((2) 立教大)
(1) \vec{a}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 2 \end{array} \right),~ \vec{b}=\left( \begin{array}{r} 3\\ 1 \end{array} \right)のとき,\vec{a},~\vec{b}の内積となす角\thetaを求めよ.
(2) pを正の数とし,ベクトル\vec{a}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 1 \end{array} \right)
\vec{b}=\left( \begin{array}{r} 1\\ -p \end{array} \right)
があるとする.いま,\vec{a}\vec{b}のなす角が60°のとき,pの値を求めよ.

3.
\vec{a}=\left( \begin{array}{r} 4\\ 3 \end{array} \right)
に垂直な単位ベクトルを求めよ.

次は内積が幾何的に何を表しているかを聞いている問題です。

4.
単位円周上を動く点Pと点A(3,2)に対して,内積\overrightarrow{\mbox{OA}} \cdot \overrightarrow{\mbox{OP}}の最大値と最小値を求めよ.

5.(湘南工科大)
半径2\sqrt{3}の円C上に2定点A,~Bがあり,\mbox{AB}=6であるとする.点Pを円C上の動点とするとき,
(1) ベクトル\overrightarrow{\mbox{AP}}が円Cの中心を通るとき,内積\overrightarrow{\mbox{AB}} \cdot \overrightarrow{\mbox{AP}}の値を求めよ.
(2) 点Pが\overrightarrow{\mbox{AB}} \cdot \overrightarrow{\mbox{AP}}=18を満たすとき,\angle\mbox{PAB}の大きさを求めよ.
(3) \overrightarrow{\mbox{AB}} \cdot \overrightarrow{\mbox{AP}}の最大値および最小値を求めよ.

6.
Oを原点,Pを線分x+y=3~(0 \leqq x \leqq 3)上の動点,Qを円x^2+y^2=1上の動点とする.このとき,ベクトル\overrightarrow{\mbox{OQ}},~\overrightarrow{\mbox{QP}}の内積\overrightarrow{\mbox{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mbox{QP}}の最大値と最小値を求めよ.

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