内積2

1の続きです。

1.(東北学院大)
1辺の長さが1の正六角形ABCDEFにおいて,直線ABと直線CDの交点をGとする.\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AF}}=\vec{b}とおく.
(1) 内積\vec{a} \cdot \vec{b}を求めよ.
(2) \overrightarrow{\mbox{BD}},~\overrightarrow{\mbox{GE}}\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.
(3) \overrightarrow{\mbox{BD}}\overrightarrow{\mbox{GE}}のなす角を\thetaとするとき,\cos\thetaの値を求めよ.

2.(広島大)
原点Oを中心とする半径1の円に内接する正五角形\mbox{A}_1\mbox{A}_2\mbox{A}_3\mbox{A}_4\mbox{A}_5に対し,\angle\mbox{A}_1\mbox{OA}_2=\thetaとし,\overrightarrow{\mbox{OA}_1}=\vec{a_1},~\overrightarrow{\mbox{OA}_2}=\vec{a_2},~\overrightarrow{\mbox{OA}_3}=\vec{a_3},~\overrightarrow{\mbox{OA}_4}=\vec{a_4},~\overrightarrow{\mbox{OA}_5}=\vec{a_5}とする.
(1) \vec{a_3}\vec{a_1},~\vec{a_2},~\thetaを用いて表せ.
(2) \vec{a_1}+\vec{a_2}+\vec{a_3}+\vec{a_4}+\vec{a_5}=\vec{0}を示せ.
(3) 1+2\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}+2\vec{a_1} \cdot \vec{a_3}=0を示し,\cos\thetaの値を求めよ.

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