内積3

2018年1月7日

次は内積の計算法則の問題です。大学では「これらの計算規則を満たすものを内積という (内積の公理)」として扱われます (内積は高校の内積の他にも考えられる)が、高校では計算法則として捉えておけば十分です。

1.(青山学院大)
ベクトル\vec{a},~\vec{b}のなす角が30°で,かつ|\vec{a}|=2,~|\vec{b}|=3であるとする.このとき,\vec{a}\cdot\vec{b}=(~~~~~),~(\vec{a}-\vec{b})\cdot(3\vec{a}+2\vec{b})=(~~~~~),~|\vec{a}-\sqrt{3}\vec{b}|=(~~~~~)である.

2.((2) 小樽商科大)
(1) ベクトル\vec{a},~\vec{b}|\vec{a}|=2,~|\vec{b}|=3,~|\vec{a}-\vec{b}|=3を満たすとき,\vec{a} \cdot \vec{b}=(~~~~~),~(\vec{a}+\vec{b})\cdot(2\vec{a}-3\vec{b})=(~~~~~)である.
(2) |\vec{a}|=2,~|\vec{b}|=3,~|\vec{a}-\vec{b}|=4とする.このとき,|\vec{a}+t\vec{b}|の最小値と,そのときのtの値を求めよ.

3.(一橋大)
平面上の2つのベクトル\vec{a}\vec{b}は零ベクトルではなく,\vec{a}\vec{b}のなす角は60°である.このとき,r=\dfrac{|\vec{a}+2\vec{b}|}{|2\vec{a}+\vec{b}|}のとり得る値の範囲を求めよ.

4.(一橋大)
大きさがそれぞれ5, 3, 1の平面上のベクトル\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}に対して,\vec{z}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}とおく.
(1) \vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を動かすとき,|\vec{z}|の最大値と最小値を求めよ.
(2) \vec{a}を固定し,\vec{a} \cdot \vec{z}=20を満たすように\vec{b},~\vec{c}を動かすとき,|\vec{z}|の最大値と最小値を求めよ.

5.(一橋大)
平面上の3つのベクトル\vec{a},~\vec{b},~\vec{p}が,|\vec{a}|=\sqrt{2},~|\vec{b}|=\sqrt{3},~|\vec{p}|=\sqrt{5},~\vec{a} \cdot \vec{p}=2,~\vec{b} \cdot \vec{p}=3を満たすとき,|\vec{a}-\vec{b}|を求めよ.ただし,ベクトル\vec{u},~\vec{v}に対して,\vec{u} \cdot \vec{v}\vec{u}\vec{v}の内積を表す.

6.(名城大)
平面上のベクトル\vec{a},~\vec{b}が,|2\vec{a}+\vec{b}|=2,~|3\vec{a}-5\vec{b}|=1を満たしている.\vec{p}=2\vec{a}+\vec{b},~\vec{q}=3\vec{a}-5\vec{b}とおく.
(1) \vec{a}\vec{b}をそれぞれ\vec{p}\vec{q}を用いて表せ.
(2) 内積\vec{p}\cdot\vec{q}のとりうる値の範囲を求めよ.
(3) |\vec{a}+\vec{b}|の最大値と最小値を求めよ.

解答

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