内積4

2018年1月7日

3の続きです。

1.((1) 立教大 (2), (3) 自治医大)
(1) 平面上に,大きさ1の3つの相異なるベクトル\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}があって,\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}を満たすとき,\vec{c}\vec{a}\vec{b}で表せ.
(2) ベクトル\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0},~\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}=-1を満たす.\vec{a}\vec{b}のなす角を求めよ.
(3) 3つのベクトル\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0},~|\vec{a}|=4,~|\vec{b}|=5,~|\vec{c}|=7を満たす.\vec{a} \cdot \vec{b}の値を求めよ.

2.(一橋大)
平面ベクトル\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}は次の(A), (B)を満たす.
(A) \vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}=-\sqrt{3}\vec{a}\cdot\vec{b}
(B) |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1
(1) \vec{a}\vec{b}は平行でないことを示せ.
(2) \vec{a}\cdot\vec{b}の値を求めよ.

解答

3.(筑波大)
平面ベクトル\vec{a},~\vec{b},~\vec{x},~\vec{y}\vec{a} \cdot \vec{b} \leqq 0,~\vec{a} \cdot \vec{x}=1,~\vec{a} \cdot \vec{y}=0,~\vec{b} \cdot \vec{x}=0,~\vec{b} \cdot \vec{y}=1を満たしているとする.このとき\vec{x} \cdot \vec{y} \geqq 0を証明せよ.

4.(神戸大)
\bigtriangleupABCの内部に点Oをとる.\angle\mbox{AOB}=\gamma,~\angle\mbox{BOC}=\alpha,~\angle\mbox{COA}=\betaとする.ただし,0<\alpha<\pi,~0<\beta<\pi,~0<\gamma<\piとする.\overrightarrow{\mbox{OA}}と同じ向きで大きさが\sin\alphaのベクトルを\vec{a}\overrightarrow{\mbox{OB}}と同じ向きで大きさが\sin\betaのベクトルを\vec{b}\overrightarrow{\mbox{OC}}と同じ向きで大きさが\sin\gammaのベクトルを\vec{c}とする.
(1) (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{a}=0を示せ.
(2) \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}を示せ.

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