内積４

2017年12月27日2018年1月7日

３の続きです。

１．((1) 立教大　(2), (3) 自治医大)
(1) 平面上に，大きさ1の3つの相異なるベクトル $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ があって， $\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}$ を満たすとき， $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表せ．
(2) ベクトル $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ が $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0},~\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{c} \cdot \vec{a}=-1$ を満たす． $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めよ．
(3) 3つのベクトル $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ は $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0},~|\vec{a}|=4,~|\vec{b}|=5,~|\vec{c}|=7$ を満たす． $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ．

２．(一橋大)
平面ベクトル $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ は次の(A), (B)を満たす．
(A) $\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}=-\sqrt{3}\vec{a}\cdot\vec{b}$
(B) $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$
(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行でないことを示せ．
(2) $\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値を求めよ．

→解答

３．(筑波大)
平面ベクトル $\vec{a},~\vec{b},~\vec{x},~\vec{y}$ が $\vec{a} \cdot \vec{b} \leqq 0,~\vec{a} \cdot \vec{x}=1,~\vec{a} \cdot \vec{y}=0,~\vec{b} \cdot \vec{x}=0,~\vec{b} \cdot \vec{y}=1$ を満たしているとする．このとき $\vec{x} \cdot \vec{y} \geqq 0$ を証明せよ．

４．(神戸大)
$\bigtriangleup$ ABCの内部に点Oをとる． $\angle\mbox{AOB}=\gamma,~\angle\mbox{BOC}=\alpha,~\angle\mbox{COA}=\beta$ とする．ただし， $0<\alpha<\pi,~0<\beta<\pi,~0<\gamma<\pi$ とする． $\overrightarrow{\mbox{OA}}$ と同じ向きで大きさが $\sin\alpha$ のベクトルを $\vec{a}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}$ と同じ向きで大きさが $\sin\beta$ のベクトルを $\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}$ と同じ向きで大きさが $\sin\gamma$ のベクトルを $\vec{c}$ とする．
(1) $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{a}=0$ を示せ．
(2) $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ を示せ．

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