内積６

2017年12月27日2018年1月7日

５の続きです。

１．(早稲田大)
平面上に点O $(0,0)$ , A $(-1,1)$ , B $(2,1)$ , C $(5,-2)$ がある．点Pが $\overrightarrow{\mbox{AP}} \cdot \overrightarrow{\mbox{BP}}=0$ を満たしながら動くとき，内積 $\overrightarrow{\mbox{OP}} \cdot \overrightarrow{\mbox{OC}}$ の最大値を求めよ．

２．(関西学院大)
平面上の3つのベクトル $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ は $|\vec{a}|=1,~|\vec{b}|=\sqrt{3},~|\vec{c}|=1,~|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$ を満たし， $\vec{c}$ は $\vec{a}$ に垂直で， $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の内積 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ は $\vec{b} \cdot \vec{c}>0$ であるとする． $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は(　　)°である．ベクトル $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表すと， $\vec{c}=(~~~~~)$ である． $s,~t$ を実数とする．ベクトル $\vec{x}=s\vec{a}+t\vec{c}$ が $0 \leqq \vec{x} \cdot \vec{a} \leqq 1,~0 \leqq \vec{x} \cdot \vec{c} \leqq 1$ を満たすとする．このとき，内積 $\vec{x} \cdot \vec{b}$ は $s=(~~~~~),~t=(~~~~~)$ のときに最小値(　　)をとる．

→解答

３．(東北大)
平面上のベクトル $\vec{a},~\vec{b}$ が $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,~\vec{a}\cdot\vec{b}=-\dfrac{1}{2}$ を満たすとする．ただし，記号 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ はベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を表す．
(1) 実数 $p,~q$ に対して， $\vec{c}=p\vec{a}+q\vec{b}$ とおく．このとき，次の条件
$|\vec{c}|=1,~\vec{a}\cdot\vec{c}=0,~p>0$
を満たす実数 $p,~q$ を求めよ．
(2) 平面上のベクトル $\vec{x}$ が $-1 \leqq \vec{a}\cdot\vec{x} \leqq 1,~1 \leqq \vec{b}\cdot\vec{x} \leqq 2$ を満たすとき， $|\vec{x}|$ のとりうる値の範囲を求めよ．

４．(熊本大)
座標平面上の原点Oと点P $(a,b)$ , Q $(x,y)$ に対して， $\vec{p}=\overrightarrow{\mbox{OP}},~\vec{q}=\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ とおく．このとき，
(1) $|\vec{p}|=1$ である1点Pを固定するとき， $\vec{p} \cdot \vec{q} \leqq 1$ をみたす点Qの範囲を求め，図示せよ．
(2) $|\vec{p}|=1$ であるすべての点Pに対して， $\vec{p} \cdot \vec{q} \leqq 1$ をみたす点Qの範囲を求め，図示せよ．