内積6

2018年1月7日

5の続きです。

1.(早稲田大)
平面上に点O(0,0), A(-1,1), B(2,1), C(5,-2)がある.点Pが\overrightarrow{\mbox{AP}} \cdot \overrightarrow{\mbox{BP}}=0を満たしながら動くとき,内積\overrightarrow{\mbox{OP}} \cdot \overrightarrow{\mbox{OC}}の最大値を求めよ.

2.(関西学院大)
平面上の3つのベクトル\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}|\vec{a}|=1,~|\vec{b}|=\sqrt{3},~|\vec{c}|=1,~|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}を満たし,\vec{c}\vec{a}に垂直で,\vec{b}\vec{c}の内積\vec{b} \cdot \vec{c}\vec{b} \cdot \vec{c}>0であるとする.\vec{a}\vec{b}のなす角は(  )°である.ベクトル\vec{c}\vec{a}\vec{b}で表すと,\vec{c}=(~~~~~)である.s,~tを実数とする.ベクトル\vec{x}=s\vec{a}+t\vec{c}0 \leqq \vec{x} \cdot \vec{a} \leqq 1,~0 \leqq \vec{x} \cdot \vec{c} \leqq 1を満たすとする.このとき,内積\vec{x} \cdot \vec{b}s=(~~~~~),~t=(~~~~~)のときに最小値(  )をとる.

解答

3.(東北大)
平面上のベクトル\vec{a},~\vec{b}|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,~\vec{a}\cdot\vec{b}=-\dfrac{1}{2}を満たすとする.ただし,記号\vec{a}\cdot\vec{b}はベクトル\vec{a}\vec{b}の内積を表す.
(1) 実数p,~qに対して,\vec{c}=p\vec{a}+q\vec{b}とおく.このとき,次の条件
|\vec{c}|=1,~\vec{a}\cdot\vec{c}=0,~p>0
を満たす実数p,~qを求めよ.
(2) 平面上のベクトル\vec{x}-1 \leqq \vec{a}\cdot\vec{x} \leqq 1,~1 \leqq \vec{b}\cdot\vec{x} \leqq 2を満たすとき,|\vec{x}|のとりうる値の範囲を求めよ.

4.(熊本大)
座標平面上の原点Oと点P(a,b), Q(x,y)に対して,\vec{p}=\overrightarrow{\mbox{OP}},~\vec{q}=\overrightarrow{\mbox{OQ}}とおく.このとき,
(1) |\vec{p}|=1である1点Pを固定するとき,\vec{p} \cdot \vec{q} \leqq 1をみたす点Qの範囲を求め,図示せよ.
(2) |\vec{p}|=1であるすべての点Pに対して,\vec{p} \cdot \vec{q} \leqq 1をみたす点Qの範囲を求め,図示せよ.

解答

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