三角形の面積

2018年1月7日

ベクトルを用いた三角形の面積公式の問題です。これも矢線ベクトル、成分表示 (数ベクトル)ともに理解しておくべきです。まずは矢線ベクトルの公式から。

1.(Ⅱ.慶応大)
Ⅰ.\mbox{AB}=3,~\mbox{AC}=5,~\overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AC}}=-9のとき,\bigtriangleupABCの面積を求めよ.
Ⅱ.\bigtriangleupOABにおいて,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}とする.|\vec{a}|=3,~|\vec{b}|=2,~|\vec{a}-2\vec{b}|=\sqrt{7}のとき
(1) \vec{a}\cdot\vec{b}の値は(  )である.
(2) \bigtriangleupOABの面積は(  )である.

次に成分表示の公式です。

2.
\overrightarrow{\mbox{OA}}=\left( \begin{array}{r} 1\\ -2 \end{array} \right),~ \overrightarrow{\mbox{OB}}=\left( \begin{array}{r} 2\\ 2 \end{array} \right),~ \overrightarrow{\mbox{OC}}=\left( \begin{array}{r} 0\\ 3 \end{array} \right)のとき,\bigtriangleupABCの面積を求めよ.

次はちょっとした発展問題をいくつか。

3.(一橋大)
平面上の4点O, A, B, Cが\mbox{OA}=4,~\mbox{OB}=3,~\mbox{OC}=2, \overrightarrow{\mbox{OB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OC}}=3を満たすとき,\bigtriangleupABCの面積の最大値を求めよ.

4.(一橋大)
平面上の3点O, A, Bは条件|\overrightarrow{\mbox{OA}}|=|\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}|=|2\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}|=1を満たす.
(1) |\overrightarrow{\mbox{AB}}|および\bigtriangleupOABの面積を求めよ.
(2) 点Pが平面上を|\overrightarrow{\mbox{OP}}|=|\overrightarrow{\mbox{OB}}|を満たしながら動くときの\bigtriangleupPABの面積の最大値を求めよ.

解答

5.(名古屋市立大)
Oを原点とするxy平面上にx,~y両座標とも整数である点A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)を3点O, A, Bが同一直線上に並ばないようにとり,三角形OABを作る.|\overrightarrow{\mbox{OA}}|^2=a,~|\overrightarrow{\mbox{OB}}|^2=b,~\overrightarrow{\mbox{OA}} \cdot \overrightarrow{\mbox{OB}}=cとおく.
(1) 三角形OABの面積Sa,~b,~cを用いて表せ.
(2) 面積Sx_1,~x_2,~y_1,~y_2を用いて表せ.
(3) 三角形OABが鋭角三角形のとき,a>c,~b>c,~c>0が同時に成り立つことを示せ.
(4) (3)の条件のもとで,Sの最小値を求め,その理由を述べよ.

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