三角形の面積

2017年12月27日2018年1月7日

ベクトルを用いた三角形の面積公式の問題です。これも矢線ベクトル、成分表示 (数ベクトル)ともに理解しておくべきです。まずは矢線ベクトルの公式から。

１．(Ⅱ．慶応大)
Ⅰ． $\mbox{AB}=3,~\mbox{AC}=5,~\overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AC}}=-9$ のとき， $\bigtriangleup$ ABCの面積を求めよ．
Ⅱ． $\bigtriangleup$ OABにおいて， $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}$ とする． $|\vec{a}|=3,~|\vec{b}|=2,~|\vec{a}-2\vec{b}|=\sqrt{7}$ のとき
(1) $\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値は(　　)である．
(2) $\bigtriangleup$ OABの面積は(　　)である．

次に成分表示の公式です。

２．
$\overrightarrow{\mbox{OA}}=\left( \begin{array}{r} 1\\ -2 \end{array} \right),~ \overrightarrow{\mbox{OB}}=\left( \begin{array}{r} 2\\ 2 \end{array} \right),~ \overrightarrow{\mbox{OC}}=\left( \begin{array}{r} 0\\ 3 \end{array} \right)$ のとき， $\bigtriangleup$ ABCの面積を求めよ．

次はちょっとした発展問題をいくつか。

３．(一橋大)
平面上の4点O, A, B, Cが $\mbox{OA}=4,~\mbox{OB}=3,~\mbox{OC}=2, \overrightarrow{\mbox{OB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OC}}=3$ を満たすとき， $\bigtriangleup$ ABCの面積の最大値を求めよ．

４．(一橋大)
平面上の3点O, A, Bは条件 $|\overrightarrow{\mbox{OA}}|=|\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}|=|2\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}|=1$ を満たす．
(1) $|\overrightarrow{\mbox{AB}}|$ および $\bigtriangleup$ OABの面積を求めよ．
(2) 点Pが平面上を $|\overrightarrow{\mbox{OP}}|=|\overrightarrow{\mbox{OB}}|$ を満たしながら動くときの $\bigtriangleup$ PABの面積の最大値を求めよ．

→解答

５．(名古屋市立大)
Oを原点とする $xy$ 平面上に $x,~y$ 両座標とも整数である点A $(x_1,y_1)$ , B $(x_2,y_2)$ を3点O, A, Bが同一直線上に並ばないようにとり，三角形OABを作る． $|\overrightarrow{\mbox{OA}}|^2=a,~|\overrightarrow{\mbox{OB}}|^2=b,~\overrightarrow{\mbox{OA}} \cdot \overrightarrow{\mbox{OB}}=c$ とおく．
(1) 三角形OABの面積 $S$ を $a,~b,~c$ を用いて表せ．
(2) 面積 $S$ を $x_1,~x_2,~y_1,~y_2$ を用いて表せ．
(3) 三角形OABが鋭角三角形のとき， $a>c,~b>c,~c>0$ が同時に成り立つことを示せ．
(4) (3)の条件のもとで， $S$ の最小値を求め，その理由を述べよ．

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