内積の利用1

内積を平面図形に利用する問題です。角度や長さを求めたり利用するときは基本的に内積を利用します。

1.
\bigtriangleupOABの重心を点Gとし,|\overrightarrow{\mbox{OA}}|=3,~|\overrightarrow{\mbox{OB}}|=2,~\angle\mbox{AOB}=60^{\circ}とする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}=(~~~~~)であり,\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OG}}=(~~~~~)である.
(2) |\overrightarrow{\mbox{OG}}|=(~~~~~)である.
(3) \angle\mbox{AOG}=\thetaとすると,\cos\theta=(~~~~~)である.

2.(東北学院大)
\bigtriangleupOABにおいて\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}とする.OAを2:1に内分する点をP,OBを3:2に内分する点をQ,BPとAQの交点をRとするとき
(1) \overrightarrow{\mbox{OR}}=\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.
(2) \mbox{OA}=5,~\mbox{OB}=6,~\mbox{AB}=9のとき,内積\vec{a}\cdot\vec{b}の値と線分ORの長さを求めよ.

次もよくある問題です。

3.(お茶の水女子大)
三角形ABCの外心をO,外接円の半径を1とする.
4\overrightarrow{\mbox{OA}}+5\overrightarrow{\mbox{OB}}+6\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{0}
であるとき,辺ABの長さを求めよ.

4.(京都大)
\bigtriangleupABCの外心Oから直線BC, CA, ABに下ろした垂線の足をそれぞれP, Q, Rとするとき,\overrightarrow{\mbox{OP}}+2\overrightarrow{\mbox{OQ}}+3\overrightarrow{\mbox{OR}}=\vec{0}が成立しているとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OC}}の関係式を求めよ.
(2) \angle\mbox{A}の大きさを求めよ.

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