内積の利用１

2017年12月27日

内積を平面図形に利用する問題です。角度や長さを求めたり利用するときは基本的に内積を利用します。

１．
$\bigtriangleup$ OABの重心を点Gとし， $|\overrightarrow{\mbox{OA}}|=3,~|\overrightarrow{\mbox{OB}}|=2,~\angle\mbox{AOB}=60^{\circ}$ とする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}=(~~~~~)$ であり， $\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OG}}=(~~~~~)$ である．
(2) $|\overrightarrow{\mbox{OG}}|=(~~~~~)$ である．
(3) $\angle\mbox{AOG}=\theta$ とすると， $\cos\theta=(~~~~~)$ である．

２．(東北学院大)
$\bigtriangleup$ OABにおいて $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}$ とする．OAを $2:1$ に内分する点をP，OBを $3:2$ に内分する点をQ，BPとAQの交点をRとするとき
(1) $\overrightarrow{\mbox{OR}}=\vec{a},~\vec{b}$ を用いて表せ．
(2) $\mbox{OA}=5,~\mbox{OB}=6,~\mbox{AB}=9$ のとき，内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値と線分ORの長さを求めよ．

次もよくある問題です。

３．(お茶の水女子大)
三角形ABCの外心をO，外接円の半径を1とする．
$4\overrightarrow{\mbox{OA}}+5\overrightarrow{\mbox{OB}}+6\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{0}$
であるとき，辺ABの長さを求めよ．

４．(京都大)
$\bigtriangleup$ ABCの外心Oから直線BC, CA, ABに下ろした垂線の足をそれぞれP, Q, Rとするとき， $\overrightarrow{\mbox{OP}}+2\overrightarrow{\mbox{OQ}}+3\overrightarrow{\mbox{OR}}=\vec{0}$ が成立しているとする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OC}}$ の関係式を求めよ．
(2) $\angle\mbox{A}$ の大きさを求めよ．

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