内積の利用2

2018年1月7日

次は円がらみの問題です。

1.(京都大)
\bigtriangleupOABにおいて,\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}}とする.
|\vec{a}|=3,~|\vec{b}|=5,~\cos(\angle\mbox{AOB})=\dfrac{3}{5}
とする.このとき,\angle\mbox{AOB}の2等分線と,Bを中心とする半径\sqrt{10}の円との交点の,Oを原点とする位置ベクトルを,\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.

解答

2.(東京薬科大)
AB=2AC, \cos A=\dfrac{9}{16}\bigtriangleupABCにおいて,BCを直径とする半円をBCに関して頂点Aと反対側に作る.辺BCを2:1に内分する点をPとし,直線APと半円との交点をQとするとき,\overrightarrow{\mbox{AQ}}=\alpha\overrightarrow{\mbox{AB}}+\beta\overrightarrow{\mbox{AC}}とする.このとき,\alphaの値と\mbox{AP}:\mbox{PQ}を求めよ.

解答

3.(新潟大)
点Oを中心とし半径1の円の円周をSとする.三角形ABCは,すべての頂点がS上にあり,辺BC上に点Oはなく,\mbox{AB}:\mbox{AC}=3:2を満たすとする.点Dは辺BCの点Cの方への延長線上で\mbox{BC}:\mbox{CD}=1:kの位置にあるとする.\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OD}}\vec{b},~\vec{c},~kで表せ.
(2) 内積\vec{a}\cdot\vec{b}\vec{a}\cdot\vec{c}で表せ.
(3) 点AにおけるSの接線が点Dを通るとき,kの値を求めよ.

解答

4.(東北大)
\bigtriangleupOABにおいて,辺OAを1:1に内分する点をM,辺OBを2:1に内分する点をNとし,線分ANと線分BMの交点をPとする.
(1) ベクトル\overrightarrow{\mbox{OP}}\overrightarrow{\mbox{OA}}\overrightarrow{\mbox{OB}}を用いて表せ.
(2) |\overrightarrow{\mbox{OQ}}|=1とする.辺OAを含む直線をl,辺OBを含む直線をmとする.\bigtriangleupABPの外接円がl,~mに接するとき,内積\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}を求めよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ