内積の利用3

2018年1月7日

次はフェルマー点に関わる問題です。

1.(東北大)
(1) \vec{0}でない平面ベクトル\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}
\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}+\dfrac{\vec{c}}{|\vec{c}|}=\vec{0}
を満たすとき,3つのベクトルの互いになす角をそれぞれ求めよ.
(2) \vec{a} \ne \vec{0},~\vec{x}を任意の平面ベクトルとするとき,
|\vec{a}-\vec{x}| \geqq |\vec{a}|-\vec{x}\cdot\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}
であることを示せ.ここで,\vec{x}\cdot\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}は,\vec{x}\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}の内積を表す.
(3) すべての内角が120°未満の三角形ABCの内部の点Xから各頂点までの距離の和|\overrightarrow{\mbox{XA}}|+|\overrightarrow{\mbox{XB}}|+|\overrightarrow{\mbox{XC}}|が最小になるようなXを求めよ.

解答

2.(東京大)
\bigtriangleupABCにおいて,\angle\mbox{BAC}=90^{\circ},~|\overrightarrow{\mbox{AB}}|=1,~|\overrightarrow{\mbox{AC}}|=\sqrt{3}とする.\bigtriangleupABCの内部の点Pが
\dfrac{\overrightarrow{\mbox{PA}}}{|\overrightarrow{\mbox{PA}}|}+\dfrac{\overrightarrow{\mbox{PB}}}{|\overrightarrow{\mbox{PB}}|}+\dfrac{\overrightarrow{\mbox{PC}}}{|\overrightarrow{\mbox{PC}}|}=\vec{0}
を満たすとする.
(1) \angle\mbox{APB},~\angle\mbox{APC}を求めよ.
(2) |\overrightarrow{\mbox{PA}}|,~|\overrightarrow{\mbox{PB}}|,~|\overrightarrow{\mbox{PC}}|を求めよ.

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