内積の利用4

2019年8月28日

内積とは切っても切り離せない直交条件の問題です。

1.(小樽商科大)
\bigtriangleupOABにおいて,\mbox{OA}=2,~\mbox{OB}=3,~\mbox{AB}=4である.点Oから辺ABに下ろした垂線をOHとする.\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}とおくとき,\overrightarrow{\mbox{OH}}\vec{a},~\vec{b}で表せ.

2.(立命館大)
同一直線上にない3点O, A, Bをとり,内積\overrightarrow{\mbox{AB}} \cdot \overrightarrow{\mbox{AO}}=a,~\overrightarrow{\mbox{BA}} \cdot \overrightarrow{\mbox{BO}}=b,~\overrightarrow{\mbox{OA}} \cdot \overrightarrow{\mbox{OB}}=cとおく.
(1) \bigtriangleup\mbox{OAB}の面積をa,~b,~cで表せ.
(2) 点Pが直線AB上に位置する.|\overrightarrow{\mbox{OP}}|が最小値をとるとき,ベクトル\overrightarrow{\mbox{OP}}\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}},~a,~bで表せ.
(3) |\overrightarrow{\mbox{OP}}|の最小値をa,~b,~cで表せ.

3.(東北大)
平面上に長さ3の線分OAを考え,ベクトル\overrightarrow{\mbox{OA}}\vec{a}で表す.0<t<1を満たす実数tに対して,\overrightarrow{\mbox{OP}}=t\vec{a}となるように点Pを定める.大きさ2のベクトル\vec{b}\vec{a}と角\theta~(0<\theta<\pi)をなすようにとり,点Bを\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}で定める.線分OBの中点をQとし,線分AQと線分BPの交点をRとする.このとき,どのように\thetaをとっても\overrightarrow{\mbox{OR}}\overrightarrow{\mbox{AB}}が垂直にならないようなtの値の範囲を求めよ.

解答

4.(北海道大)
平面上の点Oを中心とする半径1の円をCとする.円Cの内部に点Aがある.円Cの周上を2点P, Qが条件\overrightarrow{\mbox{AP}} \bot \overrightarrow{\mbox{AQ}}を満たしながら動く.線分PQの中点をRとする.また,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~|\vec{a}|=r,~\overrightarrow{\mbox{OP}}=\vec{p},~\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\vec{q}とする.ただし,0<r<1とする.
(1) |\overrightarrow{\mbox{AR}}|^2を内積\vec{p} \cdot \vec{q}を用いて表せ.
(2) 直線OA上の点Bで,|\overrightarrow{\mbox{BR}}|^2が2点P, Qの位置によらず一定であるものを求めよ.また,このときの|\overrightarrow{\mbox{BR}}|^2の値をrを用いて表せ.

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