内積の利用5

正射影ベクトルやそれを利用して対称点を求める問題です。内積は一方のベクトルを他方のベクトルを含む直線に正射影した向きつきの大きさと他方のベクトルの大きさをかけたもの、物理でいう仕事ですが、それを利用して正射影ベクトルが求まります。

1.(群馬大)
\bigtriangleupOABの3辺の長さを\mbox{OA}=\mbox{OB}=\sqrt{5},~\mbox{AB}=2とする.また,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}とする.
(1) 内積\vec{a}\cdot\vec{b}を求めよ.
(2) 点Bから直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をPとするとき,\overrightarrow{\mbox{OP}}\vec{a}を用いて表せ.
(3) 点Oから直線ABに下ろした垂線と直線BPとの交点をQとするとき,\overrightarrow{\mbox{OQ}}\vec{a}\vec{b}を用いて表せ.

2.(兵庫県立大)
三角形OABについて,\mbox{OA}=\sqrt{2},~\mbox{OB}=\sqrt{3},~\mbox{AB}=2とする.点Oから辺ABに下ろした垂線の足をL,辺OBに関してLと対称な点をPとする.\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}}とおく.
(1) \vec{a}\cdot\vec{b}を求めよ.また,\overrightarrow{\mbox{OL}}\vec{a}\vec{b}で表せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{OP}}\vec{a}\vec{b}で表せ.

3.(三重大)
O, A, Bを平面上の3点とし,三角形OABを考える.\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}}とする.|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,~\vec{a}\cdot\vec{b}=dとして以下の問いに答えよ.
(1) 直線OBに点Aから下ろした垂線と直線OBの交点をDとする.このとき,ベクトル\overrightarrow{\mbox{OD}}\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.
(2) 線分ABに点Oから下ろした垂線と直線ABの交点をEとする.このとき,ベクトル\overrightarrow{\mbox{ED}}\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.
(3) 線分AEと線分EDの長さが同じであることを証明せよ.

4.(鹿児島大)
平面上に互いに異なる3点O, A, Bがあり,それらは同一平面上にはないものとする.\mbox{OA}=2,~\mbox{OB}=3とする.\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}とし,その内積を\vec{a}\cdot\vec{b}=tとおく.\angle\mbox{AOB}の二等分線と線分ABとの交点をCとし,直線OAに関して点Bと対称な点をDとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OC}}\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{OD}}t,~\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.
(3) \overrightarrow{\mbox{OC}} \bot \overrightarrow{\mbox{OD}}となるとき,\angle\mbox{AOB}とOCを求めよ.

5.(埼玉大)
三角形ABCにおいて,\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{AC}}=\vec{c}とおき,さらに\vec{b}\vec{c}の内積を\vec{b}\cdot\vec{c}=m\vec{b}\vec{c}の大きさをそれぞれ|\vec{b}|=b,~|\vec{c}|=cとおく.
(1) 直線ABに関して,点Cと対称な点をDとするとき,ベクトル\overrightarrow{\mbox{AD}}をベクトル\vec{b},~\vec{c}と実数m,~b,~cを用いて表せ.
(2) 直線ACに関して,点Bと対称な点をEとするとき,ベクトル\overrightarrow{\mbox{DE}}をベクトル\vec{b},~\vec{c}と実数m,~b,~cを用いて表せ.
(3) ベクトル\overrightarrow{\mbox{DE}}\overrightarrow{\mbox{BC}}が平行なとき,三角形ABCはどのような三角形か.

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