内積の利用６

2017年12月28日2018年1月7日

三角形の垂心がからんだ問題です。垂心は三角形の各頂点から下した垂線です。直交が出てきますので内積が有効です。簡単なものからやってみましょう。

１．(東京電機大)
$\angle\mbox{A}=\dfrac{\pi}{3},~\mbox{AB}=3,~\mbox{AC}=2$ の三角形ABCの垂心をHとする．頂点AからBCに下ろした垂線の足をPとするとき
$\overrightarrow{\mbox{AH}}=(~~~~~)\overrightarrow{\mbox{AB}}+(~~~~~)\overrightarrow{\mbox{AC}}$
であり，垂心Hは線分APを $(~~~~~):(~~~~~)$ の比に内分する．

２．(慶応大)
三角形OABにおいて， $\mbox{OA}=8,~\mbox{OB}=10,~\mbox{AB}=12$ とする．このとき， $\overrightarrow{\mbox{OA}}$ と $\overrightarrow{\mbox{OB}}$ の内積は $\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}=(~~~~~)$ である．また，三角形OABの垂心をHとし， $\overrightarrow{\mbox{OH}}$ を $\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}}$ を用いて表すと $\overrightarrow{\mbox{OH}}=(~~~~~)$ となる．

次は鈍角三角形の場合です。

３．(早稲田大)
角 $A$ が鈍角の三角形ABCにおいて $\mbox{AB}=2,~\mbox{AC}=3$ であり，三角形ABCの面積は $2\sqrt{2}$ である．三角形ABCの垂心をHとするとき， $\overrightarrow{\mbox{AH}}$ を $\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AC}}$ を用いて表せ．

次は数ベクトルの場合です。

４．(愛知教育大)
座標平面上に3点A $(8,7)$ , B $(6,-2)$ , C $(1,1)$ をとり， $\bigtriangleup$ ABCの垂心をHとする． $s,~t$ を $\overrightarrow{\mbox{CH}}=s\overrightarrow{\mbox{CA}}+t\overrightarrow{\mbox{CB}}$ を満たす実数とするとき，
(1) $s,~t$ の値を求めよ．
(2) Hの座標を求めよ．

最後に発展問題を1つ。

５．(広島大)
$\mbox{OA}=\mbox{OB}$ をみたす二等辺三角形OABにおいて，頂点A, Bからそれぞれの対辺またはその延長上に引いた2つの垂線の交点をG，辺ABの中点をHとする． $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\angle\mbox{AOB}=\theta$ とおく．
(1) $\overrightarrow{\mbox{OG}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ を満たす $s,~t$ を $\theta$ を用いて表せ．
(2) 点Gが三角形OABの外部または周上にあるときの $\theta$ の値の範囲を求めよ．
(3) $30^{\circ}\leqq \theta \leqq 120^{\circ}$ のとき， $\dfrac{|\overrightarrow{\mbox{GH}}|}{|\overrightarrow{\mbox{OH}}|}$ の値の範囲を求めよ．