内積の利用6

2018年1月7日

三角形の垂心がからんだ問題です。垂心は三角形の各頂点から下した垂線です。直交が出てきますので内積が有効です。簡単なものからやってみましょう。

1.(東京電機大)
\angle\mbox{A}=\dfrac{\pi}{3},~\mbox{AB}=3,~\mbox{AC}=2の三角形ABCの垂心をHとする.頂点AからBCに下ろした垂線の足をPとするとき
\overrightarrow{\mbox{AH}}=(~~~~~)\overrightarrow{\mbox{AB}}+(~~~~~)\overrightarrow{\mbox{AC}}
であり,垂心Hは線分APを(~~~~~):(~~~~~)の比に内分する.

2.(慶応大)
三角形OABにおいて,\mbox{OA}=8,~\mbox{OB}=10,~\mbox{AB}=12とする.このとき,\overrightarrow{\mbox{OA}}\overrightarrow{\mbox{OB}}の内積は\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}=(~~~~~)である.また,三角形OABの垂心をHとし,\overrightarrow{\mbox{OH}}\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}}を用いて表すと\overrightarrow{\mbox{OH}}=(~~~~~)となる.

次は鈍角三角形の場合です。

3.(早稲田大)
Aが鈍角の三角形ABCにおいて\mbox{AB}=2,~\mbox{AC}=3であり,三角形ABCの面積は2\sqrt{2}である.三角形ABCの垂心をHとするとき,\overrightarrow{\mbox{AH}}\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AC}}を用いて表せ.

次は数ベクトルの場合です。

4.(愛知教育大)
座標平面上に3点A(8,7), B(6,-2), C(1,1)をとり,\bigtriangleupABCの垂心をHとする.s,~t\overrightarrow{\mbox{CH}}=s\overrightarrow{\mbox{CA}}+t\overrightarrow{\mbox{CB}}を満たす実数とするとき,
(1) s,~tの値を求めよ.
(2) Hの座標を求めよ.

最後に発展問題を1つ。

5.(広島大)
\mbox{OA}=\mbox{OB}をみたす二等辺三角形OABにおいて,頂点A, Bからそれぞれの対辺またはその延長上に引いた2つの垂線の交点をG,辺ABの中点をHとする.\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\angle\mbox{AOB}=\thetaとおく.
(1) \overrightarrow{\mbox{OG}}=s\vec{a}+t\vec{b}を満たすs,~t\thetaを用いて表せ.
(2) 点Gが三角形OABの外部または周上にあるときの\thetaの値の範囲を求めよ.
(3) 30^{\circ}\leqq \theta \leqq 120^{\circ}のとき,\dfrac{|\overrightarrow{\mbox{GH}}|}{|\overrightarrow{\mbox{OH}}|}の値の範囲を求めよ.

解答

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ