内積の利用７

2017年12月28日2018年1月7日

次は三角形の外心がからんだ問題です。三角形の外心は各辺の垂直二等分線の交点ということで内積が有効です。

１．(滋賀大)
$\bigtriangleup$ ABCにおいて， $\mbox{AB}=2,~\mbox{AC}=3,~\angle\mbox{A}=60^{\circ},~\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{AC}}=\vec{c}$ とする．このとき， $\bigtriangleup$ ABCの外心をOとして， $\overrightarrow{\mbox{AO}}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ を用いて表せ．

次は鈍角三角形です。

２．(信州大)
三角形ABCの3辺の長さを $\mbox{AB}=4,~\mbox{BC}=3,~\mbox{CA}=2$ とする．この三角形の外心をOとおく．
(1) ベクトル $\overrightarrow{\mbox{CA}}$ と $\overrightarrow{\mbox{CB}}$ の内積 $\overrightarrow{\mbox{CA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{CB}}$ を求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{CO}}=a\overrightarrow{\mbox{CA}}+b\overrightarrow{\mbox{CB}}$ を満たす実数 $a,~b$ を求めよ．

３．(一橋大)
三角形ABCにおいて， $|\overrightarrow{\mbox{AB}}|=4,~|\overrightarrow{\mbox{AC}}|=5,~|\overrightarrow{\mbox{BC}}|=6$ である．辺AC上の点Dは $\mbox{BD}\bot\mbox{AC}$ を満たし，辺AB上の点Eは $\mbox{CE}\bot\mbox{AB}$ を満たす．CEとBDの交点をHとする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{AD}}=r\overrightarrow{\mbox{AC}}$ となる実数 $r$ を求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{AH}}=s\overrightarrow{\mbox{AB}}+t\overrightarrow{\mbox{AC}}$ となる実数 $s,~t$ を求めよ．

次は数ベクトルの場合です。

４．(早稲田大)
座標平面上の3点A $(\sqrt{3},2)$ , B $(3\sqrt{3},0)$ , C $(4\sqrt{3},-5)$ を頂点とする三角形ABCの外心をDとする．このとき，
(1) $\overrightarrow{\mbox{AD}}$ を $\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AC}}$ で表せ．
(2) 直線ADと辺BCの交点をEとするとき， $\dfrac{\mbox{BE}}{\mbox{EC}}$ の値を求めよ．

５．(一橋大)
点Oを中心とする円に四角形ABCDが内接していて，次を満たす．
$\mbox{AB}=1,~\mbox{BC}=\mbox{CD}=\sqrt{6},~\mbox{DA}=2$
(1) ACを求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{AO}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AD}}$ および $\overrightarrow{\mbox{AO}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AC}}$ を求めよ．
(3) $\overrightarrow{\mbox{AO}}=x\overrightarrow{\mbox{AC}}+y\overrightarrow{\mbox{AD}}$ となる $x,~y$ の値を求めよ．