内積の利用8

次はオイラー線の問題です。正三角形以外の三角形において外心Oと重心Gと垂心Hは一直線上にあり、\mbox{OG}:\mbox{GH}=1:2が常に成り立ちます。それを示す問題です。OとGとHがのった直線をオイラー線といいます。

1.(山梨大)
\bigtriangleupABCの重心をG,外接円の中心をEとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{GA}}+\overrightarrow{\mbox{GB}}+\overrightarrow{\mbox{GC}}=\vec{0}を示せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{EA}}+\overrightarrow{\mbox{EB}}+\overrightarrow{\mbox{EC}}=\overrightarrow{\mbox{EH}}となるように点Hをとると,点Hは\bigtriangleupABCの垂心であることを示せ.
(3) E, G, Hは一直線上にあり,\mbox{EG}:\mbox{GH}=1:2であることを示せ.

2.(徳島大)
\bigtriangleupABCにおいて,\mbox{AC}=1,~\mbox{BC}=k,~\angle\mbox{C}=60^{\circ}とする.ただし,k\dfrac{1}{2}<k<2,~k \ne 1を満たす実数である.Aから辺BCへ下ろした垂線とBから辺ACへ下ろした垂線の交点をFとする.また,Gを\bigtriangleupABCの重心とする.\overrightarrow{\mbox{CA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{CB}}=\vec{b}とするとき,
(1) \overrightarrow{\mbox{CG}}\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{CF}}=m\vec{a}+n\vec{b}とするとき,m,~nkを用いて表せ.
(3) 2点F, Gを通る直線上に点Hをとり,Gが線分FHを2:1に内分する点となるようにHを定める.このとき,\overrightarrow{\mbox{CH}}\vec{a},~\vec{b}およびkを用いて表せ.
(4) (3)で定めたHが\bigtriangleupABCの外心であることを示せ.

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