内積の利用９

2017年12月29日2018年1月7日

次は9点円の問題です。２の9点を通るような円を9点円といいます。

１．(福井工業大)
$\bigtriangleup$ ABCは直角三角形でないとして，その外接円の中心をOとし， $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおく．また，点Hを $\overrightarrow{\mbox{OH}}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ となるようにとる．
(1) $\overrightarrow{\mbox{AH}} \bot \overrightarrow{\mbox{BC}},~\overrightarrow{\mbox{BH}} \bot \overrightarrow{\mbox{AC}}$ となることを証明せよ．
(2) 線分OHの中点をNとする．また，辺BC, CAおよび線分AHの中点をそれぞれL, MおよびDとするとき，Nを中心，半径 $\dfrac{1}{2}|\vec{a}|$ の円は $\bigtriangleup$ LMDの外接円であることを証明せよ．

２．(小樽商科大)
(1) 三角形ABCに外接する円の中心をOとする． $\overrightarrow{\mbox{OH}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}$ となる点をHとする．このとき $\mbox{AH}\bot\mbox{BC},~\mbox{BH}\bot\mbox{CA},~\mbox{CH}\bot\mbox{AB}$ を示せ．
(2) 辺AB, BC, CAの中点，AH, BH, CHの中点，AHとBC, BHとCA, CHとABの交点がOHの中点を中心とする円の円周上にあることを証明せよ．また，この円の半径が外接円の半径の半分であることも示せ．