内積の利用9

2018年1月7日

次は9点円の問題です。2の9点を通るような円を9点円といいます。

1.(福井工業大)
\bigtriangleupABCは直角三角形でないとして,その外接円の中心をOとし,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とおく.また,点Hを\overrightarrow{\mbox{OH}}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}となるようにとる.
(1) \overrightarrow{\mbox{AH}} \bot \overrightarrow{\mbox{BC}},~\overrightarrow{\mbox{BH}} \bot \overrightarrow{\mbox{AC}}となることを証明せよ.
(2) 線分OHの中点をNとする.また,辺BC, CAおよび線分AHの中点をそれぞれL, MおよびDとするとき,Nを中心,半径\dfrac{1}{2}|\vec{a}|の円は\bigtriangleupLMDの外接円であることを証明せよ.

2.(小樽商科大)
(1) 三角形ABCに外接する円の中心をOとする.\overrightarrow{\mbox{OH}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}となる点をHとする.このとき\mbox{AH}\bot\mbox{BC},~\mbox{BH}\bot\mbox{CA},~\mbox{CH}\bot\mbox{AB}を示せ.
(2) 辺AB, BC, CAの中点,AH, BH, CHの中点,AHとBC, BHとCA, CHとABの交点がOHの中点を中心とする円の円周上にあることを証明せよ.また,この円の半径が外接円の半径の半分であることも示せ.

解答

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