内積の利用１０

2017年12月29日

次はベクトルの関係式から三角形の形状を求める問題です。

１．(岡山理科大)
点Oを始点とする3つの平面ベクトルを $\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}}$ とする．こららのベクトルが $\vec{a} \cdot \vec{a}+2\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{b}+2\vec{c} \cdot \vec{a}$ を満たすとき， $\bigtriangleup$ ABCはどのような三角形であるか．

２．(埼玉大)
各辺の長さが0でない三角形ABCに対し，
$P(A)=\overrightarrow{\mbox{AB}} \cdot \overrightarrow{\mbox{AC}},~P(B)=\overrightarrow{\mbox{BC}} \cdot \overrightarrow{\mbox{BA}},~P(C)=\overrightarrow{\mbox{CA}} \cdot \overrightarrow{\mbox{CB}}$
とおく．
(1) $P(B)=P(C)$ を満たすとき，この三角形はどのような三角形か．
(2) $P(A)P(B)=P(C)P(A)$ を満たすとき，この三角形はどのような三角形か．

３．(大阪大)
点Oを中心とする円を考える．この円の円周上に3点A, B, Cがあって， $\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{0}$ を満たしている．このとき，三角形ABCは正三角形であることを証明せよ．

４．(京都大)
$\bigtriangleup$ ABCの内心をPとする． $\overrightarrow{\mbox{PA}}+\overrightarrow{\mbox{PB}}+\overrightarrow{\mbox{PC}}=\vec{0}$ が成り立っているとき，この三角形は正三角形であることを示せ．

５．(大阪市立大)
点Oを中心とする半径1の円周上に異なる3点A, B, Cがある．次を示せ．
(1) 三角形ABCが直角三角形ならば $|\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}|=1$ である．
(2) 逆に， $|\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}|=1$ ならば，三角形ABCは直角三角形である．

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