内積の利用10

次はベクトルの関係式から三角形の形状を求める問題です。

1.(岡山理科大)
点Oを始点とする3つの平面ベクトルを\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}}とする.こららのベクトルが\vec{a} \cdot \vec{a}+2\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{b}+2\vec{c} \cdot \vec{a}を満たすとき,\bigtriangleupABCはどのような三角形であるか.

2.(埼玉大)
各辺の長さが0でない三角形ABCに対し,
P(A)=\overrightarrow{\mbox{AB}} \cdot \overrightarrow{\mbox{AC}},~P(B)=\overrightarrow{\mbox{BC}} \cdot \overrightarrow{\mbox{BA}},~P(C)=\overrightarrow{\mbox{CA}} \cdot \overrightarrow{\mbox{CB}}
とおく.
(1) P(B)=P(C)を満たすとき,この三角形はどのような三角形か.
(2) P(A)P(B)=P(C)P(A)を満たすとき,この三角形はどのような三角形か.

3.(大阪大)
点Oを中心とする円を考える.この円の円周上に3点A, B, Cがあって,\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{0}を満たしている.このとき,三角形ABCは正三角形であることを証明せよ.

4.(京都大)
\bigtriangleupABCの内心をPとする.\overrightarrow{\mbox{PA}}+\overrightarrow{\mbox{PB}}+\overrightarrow{\mbox{PC}}=\vec{0}が成り立っているとき,この三角形は正三角形であることを示せ.

5.(大阪市立大)
点Oを中心とする半径1の円周上に異なる3点A, B, Cがある.次を示せ.
(1) 三角形ABCが直角三角形ならば|\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}|=1である.
(2) 逆に,|\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}|=1ならば,三角形ABCは直角三角形である.

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