内積の利用１１

2017年12月29日2018年1月7日

次は四角形の形状問題です。

１．
$\bigtriangleup$ OABは $\angle\mbox{AOB}=90^{\circ}$ の直角二等辺三角形とする． $r,~s$ を実数とし，点C, Dを
$\overrightarrow{\mbox{OC}}=r\overrightarrow{\mbox{OA}}+s\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OD}}=(r+1)\overrightarrow{\mbox{OA}}+(s-1)\overrightarrow{\mbox{OB}}$
を満たすようにとる．
(1) 線分ABと線分DCは平行であることを示せ．
(2) 四角形ABCDがひし形であるための $r$ と $s$ についての条件を求めよ．
(3) 四角形ABCDが正方形であるときの $r$ と $s$ の値を求めよ．

２．(群馬大)
(1) 平面上の $\bigtriangleup$ ABCにおいて
$\overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BC}}=\overrightarrow{\mbox{BC}}\cdot\overrightarrow{\mbox{CA}}=\overrightarrow{\mbox{CA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AB}}$
が成立するとき， $\bigtriangleup$ ABCは正三角形であることを示せ．
(2) 平面上の四角形ABCDの内角はどれも180°より小とする．
$\overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BC}}=\overrightarrow{\mbox{BC}}\cdot\overrightarrow{\mbox{CD}}=\overrightarrow{\mbox{CD}}\cdot\overrightarrow{\mbox{DA}}=\overrightarrow{\mbox{DA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AB}}$
が成立するとき，四角形ABCDは長方形であることを示せ．

３．(広島大)
平面上に点Oを中心とする半径1の円周 $S$ を考える．
(1) $S$ 上の2点A, Bに対し， $\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}=\overrightarrow{\mbox{OE}}$ となる点Eをとる． $\overrightarrow{\mbox{OE}}\ne\vec{0}$ のとき，線分OEが角AOBを2等分することを示せ．
(2) $S$ に内接する三角形ABCが条件 $\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{0}$ を満たすとする．このとき三角形ABCはどのような三角形になるか．証明付きで述べよ．
(3) $S$ に内接する四角形ABCDが条件 $\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}+\overrightarrow{\mbox{OD}}=\vec{0}$ を満たすとする．このとき四角形ABCDはどのような四角形になるか．証明付きで述べよ．