内積の利用11

2018年1月7日

次は四角形の形状問題です。

1.
\bigtriangleupOABは\angle\mbox{AOB}=90^{\circ}の直角二等辺三角形とする.r,~sを実数とし,点C, Dを
\overrightarrow{\mbox{OC}}=r\overrightarrow{\mbox{OA}}+s\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OD}}=(r+1)\overrightarrow{\mbox{OA}}+(s-1)\overrightarrow{\mbox{OB}}
を満たすようにとる.
(1) 線分ABと線分DCは平行であることを示せ.
(2) 四角形ABCDがひし形であるためのrsについての条件を求めよ.
(3) 四角形ABCDが正方形であるときのrsの値を求めよ.

2.(群馬大)
(1) 平面上の\bigtriangleupABCにおいて
\overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BC}}=\overrightarrow{\mbox{BC}}\cdot\overrightarrow{\mbox{CA}}=\overrightarrow{\mbox{CA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AB}}
が成立するとき,\bigtriangleupABCは正三角形であることを示せ.
(2) 平面上の四角形ABCDの内角はどれも180°より小とする.
\overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BC}}=\overrightarrow{\mbox{BC}}\cdot\overrightarrow{\mbox{CD}}=\overrightarrow{\mbox{CD}}\cdot\overrightarrow{\mbox{DA}}=\overrightarrow{\mbox{DA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AB}}
が成立するとき,四角形ABCDは長方形であることを示せ.

3.(広島大)
平面上に点Oを中心とする半径1の円周Sを考える.
(1) S上の2点A, Bに対し,\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}=\overrightarrow{\mbox{OE}}となる点Eをとる.\overrightarrow{\mbox{OE}}\ne\vec{0}のとき,線分OEが角AOBを2等分することを示せ.
(2) Sに内接する三角形ABCが条件\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{0}を満たすとする.このとき三角形ABCはどのような三角形になるか.証明付きで述べよ.
(3) Sに内接する四角形ABCDが条件\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}+\overrightarrow{\mbox{OD}}=\vec{0}を満たすとする.このとき四角形ABCDはどのような四角形になるか.証明付きで述べよ.

解答

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