内積の利用12

2018年1月7日

次は三角形の五心とからめた三角形の形状問題です。

1.(秋田大)
点Oを中心とし,半径がrである円に内接する\bigtriangleupABCについて,3辺AB, BC, CAをそれぞれ2:1に内分する点をA’, B’, C’とする.\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とおく.
(1) rと内積\vec{a}\cdot\vec{b}を用いて|\overrightarrow{\mbox{OA'}}|^2を示せ.
(2) 3点A’, B’, C’を通る円の中心が点Oと一致するとき,\bigtriangleupABCが正三角形であることを示せ.

解答

2.(広島大)
s,~tは正の実数で,s+t=1とする.三角形ABCの辺BC, CA, ABをs:tに内分する点を,それぞれL, M, Nとおく.
(1) 三角形ABCの重心と三角形LMNの重心が一致することを示せ.
(2) 三角形ABCの外心をOとする.|\overrightarrow{\mbox{OL}}| \geqq |\overrightarrow{\mbox{OM}}|ならば|\overrightarrow{\mbox{BC}}| \leqq |\overrightarrow{\mbox{CA}}|であることを示せ.
(3) 三角形ABCの外心と三角形LMNの外心が一致するならば,三角形ABCは正三角形であることを示せ.

3.(千葉大)
三角形ABCの外心をO,重心をG,内心をIとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OG}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{OA}}が成り立つならば,三角形ABCは直角三角形であることを証明せよ.
(2) kk \ne \dfrac{1}{3}を満たす実数で,\overrightarrow{\mbox{OG}}=k\overrightarrow{\mbox{OA}}が成り立つならば,三角形ABCは二等辺三角形であることを証明せよ.
(3) \overrightarrow{\mbox{OI}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BC}}=0が成り立つならば,三角形ABCは二等辺三角形であることを証明せよ.

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