内積の利用１２

2017年12月29日2018年1月7日

次は三角形の五心とからめた三角形の形状問題です。

１．(秋田大)
点Oを中心とし，半径が $r$ である円に内接する $\bigtriangleup$ ABCについて，3辺AB, BC, CAをそれぞれ $2:1$ に内分する点をA’, B’, C’とする． $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおく．
(1) $r$ と内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を用いて $|\overrightarrow{\mbox{OA'}}|^2$ を示せ．
(2) 3点A’, B’, C’を通る円の中心が点Oと一致するとき， $\bigtriangleup$ ABCが正三角形であることを示せ．

→解答

２．(広島大)
$s,~t$ は正の実数で， $s+t=1$ とする．三角形ABCの辺BC, CA, ABを $s:t$ に内分する点を，それぞれL, M, Nとおく．
(1) 三角形ABCの重心と三角形LMNの重心が一致することを示せ．
(2) 三角形ABCの外心をOとする． $|\overrightarrow{\mbox{OL}}| \geqq |\overrightarrow{\mbox{OM}}|$ ならば $|\overrightarrow{\mbox{BC}}| \leqq |\overrightarrow{\mbox{CA}}|$ であることを示せ．
(3) 三角形ABCの外心と三角形LMNの外心が一致するならば，三角形ABCは正三角形であることを示せ．

３．(千葉大)
三角形ABCの外心をO，重心をG，内心をIとする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{OG}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mbox{OA}}$ が成り立つならば，三角形ABCは直角三角形であることを証明せよ．
(2) $k$ が $k \ne \dfrac{1}{3}$ を満たす実数で， $\overrightarrow{\mbox{OG}}=k\overrightarrow{\mbox{OA}}$ が成り立つならば，三角形ABCは二等辺三角形であることを証明せよ．
(3) $\overrightarrow{\mbox{OI}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BC}}=0$ が成り立つならば，三角形ABCは二等辺三角形であることを証明せよ．

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