位置ベクトル

位置ベクトルの問題です。位置ベクトルは始点をO (原点)とするベクトルです。ここまでベクトルは風向きのように方向と大きさをもつ量、またはあるものをどれだけ移動したかのように移動を表す量として扱い、向きと大きさが同じものは同じものと見なしてきましたが、ベクトルの始点をOと定めることにより終点の位置 (座標)を定めることができるようになります。

1.((1) 京都産業大 (2) 中央大)
(1) 2点A(-1,4), B(2,1)がある.線分ABを2:1に内分する点の座標と外分する点の座標を求めよ.
(2) 点(-2,6)が2点A(x,3)とB(8,y)を結ぶ線分の中点であるという.x,~yの値を求めよ.

2.(青山学院大)
三角形ABCにおいてABの中点をP,ACを3:2に内分する点をQ,BCを3:2に外分する点をRとする.また,A, B, Cの位置ベクトルをそれぞれ\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}とする.
(1) P, Q, Rの位置ベクトルを,それぞれ\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}で表せ.
(2) 3点P, Q, Rが一直線上にあることを証明せよ.

3.
四角形ABCDにおいて,辺AB, BC, CD, DAの中点をそれぞれ,P, Q, R, Sとするとき,四角形PQRSは平行四辺形であることを位置ベクトルを用いて示せ.

4.(城西大)
平面上に四角形ABCDがある.直線A, B, C, Dの位置ベクトルをそれぞれ\vec{a},~\vec{b},~\vec{c},~\vec{d}とするとき,
\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d},~\vec{a} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{d}
であるという.この四辺形は長方形であることを証明せよ.ただし,\vec{x} \cdot \vec{y}\vec{x}\vec{y}の内積とする.

5.
Ⅰ.三角形ABCの重心をGとし,頂点A, B, Cと点Gの位置ベクトルを,それぞれ\vec{a}, \vec{b},~\vec{c},~\vec{g}とする.\vec{g}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}で表せ.
Ⅱ.(1) 3点A(4,5), B(-4,-2), C(2,-5)に対して,三角形ABCの重心の座標を求めよ.
(2) 座標平面上の三角形ABCにおいて,辺ABの中点の座標が(1,-2)であり,重心の座標が(0,1)であるとき,点Cの座標を求めよ.

6.(Ⅱ.富山医科薬科大)
Ⅰ.平面上に\bigtriangleupABCと原点Oがあり,辺BC, CA, ABの長さをそれぞれa,~b,~cとする.\bigtriangleupABCの内心Iの位置ベクトルを\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OC}}を用いて表せ.
Ⅱ.三角形ABCを考える.辺CAのAの方向への延長上および辺BCのBの方向への延長上にそれぞれ接点をもち,さらに辺ABに接する円の中心をKとする.また\mbox{AB}=c,~\mbox{BC}=a,~\mbox{CA}=bとする.
(1) ベクトル\overrightarrow{\mbox{AK}}を,ベクトル\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AC}}およびa,~b,~cで表せ.
(2) さらに平面上に点Oをとり,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とするとき,\overrightarrow{\mbox{OK}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}およびa,~b,~cで表せ.

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