直線のベクトル方程式1

直線のベクトル方程式の問題です。直線は座標(x,y)を利用してax+by+c=0と表せたように、これを座標ではなくベクトルを利用して表すだけです。ともに表された方程式を満たす点を集めていくと直線になるということをしっかり理解しておくことが大切です。直線のベクトル方程式は方向ベクトルを利用して表す方法と法線ベクトルを利用して表す方法の2つがあります。両方とも理解しておく必要があります。まずは方向ベクトルを利用した直線のベクトル方程式から。

1.
(1) 点A(2,-3)を通り,\vec{d}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 2 \end{array} \right)を方向ベクトルとする直線を媒介変数表示せよ.また,この直線とx軸との交点の座標を求めよ.
(2) 2点A(-2,3), B(1,-1)を通る直線を媒介変数表示せよ.また,この直線とy軸との交点を求めよ.
(3) 点A(1,2)を通り,\vec{d}=\left( \begin{array}{r} 4\\ 3 \end{array} \right)に平行な直線の方程式を求めよ.

2.(帯広畜産大)
正六角形OABCDEについて,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OE}}=\vec{b}とする.
(1) \overrightarrow{\mbox{AB}}\vec{a}\vec{b}を用いて表せ.
(2) 辺CDの中点をX,辺DEの中点をY,AXとBYの交点をZとするとき,\overrightarrow{\mbox{AZ}}\vec{a}\vec{b}を用いて表せ.
(3) 頂点Cと点Zを通る直線のベクトル方程式を\vec{a}\vec{b}を用いて表せ.ただし,頂点Oを原点とする.

3.(愛知教育大)
\bigtriangleupABCに対して,ABの中点をM,ACを5:2に外分する点をNとする.
(1) 線分MNとBCの交点をQとするとき,\overrightarrow{\mbox{AQ}}\overrightarrow{\mbox{AM}}\overrightarrow{\mbox{AN}}を用いて表せ.
(2) 実数t~(0 \leqq t \leqq 1)に対して,(7t-4)\overrightarrow{\mbox{PA}}+3t\overrightarrow{\mbox{PB}}+(10-10t)\overrightarrow{\mbox{PC}}=\vec{0}を満たす点Pを考える.t0 \leqq t \leqq 1の範囲を動くときの点Pの軌跡を求めよ.

4.(九州大)
座標平面に3点O(0,0), A(2,6), B(3,4)をとり,点Oから直線ABに垂線OCを下ろす.また,実数stに対し,点Pを\overrightarrow{\mbox{OP}}=s\overrightarrow{\mbox{OA}}+t\overrightarrow{\mbox{OB}}で定める.
(1) 点Cの座標を求め,|\overrightarrow{\mbox{CP}}|^2stを用いて表せ.
(2) sを定数として,tt \geqq 0の範囲で動かすとき,|\overrightarrow{\mbox{CP}}|^2の最小値を求めよ.

5.(京都大)
中心がOである,定円の円周上に相異なる6つの定点\mbox{A}_1,~\mbox{A}_2,~\mbox{A}_3,~\mbox{A}_4,~\mbox{A}_5,~\mbox{A}_6がある.このとき,
(1) \overrightarrow{\mbox{OA}_1}+\overrightarrow{\mbox{OA}_2}+\overrightarrow{\mbox{OA}_3}=\overrightarrow{\mbox{OH}}となるように点Hをとれば,点Hは\bigtriangleup\mbox{A}_1\mbox{A}_2\mbox{A}_3の垂心であることを示せ.
(2) 6点\mbox{A}_k~(k=1,~2,~3,~4,~5,~6)のうちから3点を任意に選ぶ.選んだ3点を頂点とする三角形の垂心と,残りの3点を頂点とする三角形の重心とを通る直線は,3点の選び方に無関係な一定の点を通ることを示せ.

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