直線のベクトル方程式3

2018年1月7日

次は直線のベクトル方程式を利用する問題をいくつか。

1.
(1) 点(2,2)を通り,傾きが\dfrac{1}{2}である直線lを媒介変数sを用いて表せ.
(2) 点(1,1)を通り,直線lと直交する直線mを媒介変数tを用いて表せ.
(3) 2直線lmの交点の座標を求めよ.

2.(名古屋大)
\bigtriangleupABCの辺AB, BC, CAを2:1に内分する点をそれぞれA’, B’, C’とし,\bigtriangleupA’B’C’の辺A’B’, B’C’, C’A’を2:1に内分する点をそれぞれA”, B”, C”とする.このとき,直線AA”, BB”, CC”は\bigtriangleupABCの重心で交わることを証明せよ.

解答

3.(北海道大)
原点をOとする平面において,点A(0,2)とベクトル\vec{c}=(1,-2)をとり,ベクトル方程式\vec{p}=\overrightarrow{\mbox{OA}}+t\vec{c}で表される直線をlとする.原点Oを発した光が,l上の点Q(a,b)lに当たって反射するとき,その反射光のなす半直線をl'で表す.ただし,光は直進し,線分OQとlのなす角度はl'lのなす角度と等しくなるように反射するものとする.
(1) 直線lに関してOと対称な点O’の座標を求めよ.
(2) 半直線l'を含む直線のベクトル方程式が\vec{p}=\overrightarrow{\mbox{OQ}}+t\vec{d}となるようなベクトル\vec{d}を1つ求め,その成分をaを用いて表せ.

解答

4.(大阪府立大)
座標平面上に,原点Oおよび2点A(2,1), B(0,-1)がある.原点Oを通り,\vec{u}=(2,-1)を方向ベクトルとする直線をlとする.\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}とおき,s,~tを実数として,\overrightarrow{\mbox{OP}}=\vec{a}+s\vec{u}で与えられる点Pおよび\overrightarrow{\mbox{OQ}}=\vec{b}+t\vec{u}で与えられる点Qを考える.
(1) \vec{u}\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.
(2) \angle\mbox{POQ}が直角となるs,~tの条件を求めよ.
(3) 直線PQと直線lの交点をRとし,実数kを用いて,\overrightarrow{\mbox{OR}}=k\vec{u}とする.このとき,ks,~tを用いて表せ.
(4) \angle\mbox{POQ}が直角となる条件のもと,三角形POQの面積Fが最小となるときのkの値を求めよ.

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