直線のベクトル方程式4

2018年1月7日

次は角の二等分線のベクトル方程式です。座標による直線の方程式、ベクトルによる直線の方程式と学びましたが、それぞれに得意分野、不得意分野というものがあります。座標では内分点の座標が少しややこしくなりますが、ベクトルでは内分点でを簡単に表すことができます。つまり、角の二等分線ではベクトルの方が得意分野と言えます。直線のベクトル方程式は空間内でより威力を発揮しますが、なぜ直線のベクトル方程式を学ぶかということを考えるとより理解が深まるかもしれません。

1.(神戸大)
平面上に原点Oから出る相異なる2本の半直線OX, OYをとり,\angle\mbox{XOY}<180^{\circ}とする.半直線OX上にOと異なる点Aを,半直線OY上にOと異なる点Bをとり,\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}}とおく.
(1) 点Cが\angle\mbox{XOY}の二等分線上にあるとき,ベクトル\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}}はある実数tを用いて,\vec{x}=t\left(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\dfrac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)と表されることを示せ.
(2) \angle\mbox{XOY}の二等分線と\angle\mbox{XAB}の二等分線の交点をPとおく.\mbox{OA}=2,~\mbox{OB}=3,~\mbox{AB}=4のとき,\vec{p}=\overrightarrow{\mbox{OP}}を,\vec{a}\vec{b}を用いて表せ.

解答

2.(東京学芸大)
三角形ABCの辺BC, CA, ABの長さをそれぞれa,~b,~cとする.
(1) 点Pが\overrightarrow{\mbox{AP}}=\dfrac{\overrightarrow{\mbox{AB}}}{c}+\dfrac{\overrightarrow{\mbox{AC}}}{b}を満たすとき,Pは\angle\mbox{A}の2等分線上にあることを示せ.
(2) 三角形ABCの内接円の中心をIとするとき,ベクトル\overrightarrow{\mbox{AI}}\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AC}}およびa,~b,~cを用いて表せ.

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