円のベクトル方程式1

2018年1月7日

円のベクトル方程式です。円のベクトル方程式も、円の中心と半径を利用する方法、円の直径の対する円周角は直角であることを利用し内積を利用する方法の2つあります。座標のときもと同じように、式を見たときにこの図形は何を表しているのかということを理解できるようにしておいた方がよいでしょう。当然すぐには分からないものもありますが大体見当はつきます。

1.(東北学院大)
平面上に定点A(\vec{a}), B(\vec{b})があり,|\vec{a}-\vec{b}|=5,~|\vec{a}|=3,~|\vec{b}|=6を満たしているとき,次の問いに答えよ.
(1) 内積\vec{a}\cdot\vec{b}を求めよ.
(2) 点P(\vec{p})に関するベクトル方程式|\vec{p}-\vec{a}+\vec{b}|=|2\vec{a}+\vec{b}|で表される円の中心の位置ベクトルと半径を求めよ.
(3) 点P(\vec{p})に関するベクトル方程式(\vec{p}-\vec{a})\cdot(2\vec{p}-\vec{b})=0で表される円の中心の位置ベクトルと半径を求めよ.

2.(東京薬科大)
平面上に3点A(2,3), B(6,2), C(4,5)がある.動点Pが|\overrightarrow{\mbox{PA}}+\overrightarrow{\mbox{PB}}+\overrightarrow{\mbox{PC}}|=15を満たして動くとき,Pの描く円の中心と半径を求めよ.

3.((1) 岡山理科大 (2) 埼玉大)
(1) 三角形ABCは\overrightarrow{\mbox{BA}} \cdot \overrightarrow{\mbox{CA}}=0を満たしている.この平面上の点Pが条件\overrightarrow{\mbox{AP}} \cdot \overrightarrow{\mbox{BP}}+\overrightarrow{\mbox{BP}} \cdot \overrightarrow{\mbox{CP}}+\overrightarrow{\mbox{CP}} \cdot \overrightarrow{\mbox{AP}}=0を満たしているとき,Pはどのような図形上の点であるか.その図形をえがけ.
(2) \bigtriangleupABCを1辺の長さが1の正三角形とする.\bigtriangleupABCを含む平面上の点Pが\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BP}}-\overrightarrow{\mbox{BP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{CP}}+\overrightarrow{\mbox{CP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AP}}=0を満たして動くとき,Pの描く図形を求めよ.

4.(九州大)
A, B, Cは平面上の相異なる3点であって同一直線上にはないとする.このとき,その平面上の点で
|\overrightarrow{\mbox{PA}}|^2-3\overrightarrow{\mbox{PA}} \cdot \overrightarrow{\mbox{PB}}+2\overrightarrow{\mbox{PA}} \cdot \overrightarrow{\mbox{PC}}-6\overrightarrow{\mbox{PB}} \cdot \overrightarrow{\mbox{PC}}=0
という関係を満足するものの集合は,どのような図形になるかを説明し,かつそれを図示せよ.

5.(九州大)
一辺の長さが1の正六角形ABCDEFに内接する円の中心をOとし,その円周上の点をPとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AF}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{AP}}=\vec{x}とするとき,内接円のベクトル方程式を\vec{a},~\vec{b},~\vec{x}で表せ.
(2) 線分BCの中点をQとする.\overrightarrow{\mbox{AQ}}\vec{a}\vec{b}で表せ.
(3) \overrightarrow{\mbox{AP}}=k\overrightarrow{\mbox{AQ}}を満たすkの値をすべて求めよ.

解答

6.(慶応大)
1辺の長さが1である正六角形の頂点を時計の針の回り方と逆回りにA, B, C, D, E, Fとし,\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AF}}=\vec{b}とする.
(1) \vec{a}\cdot\vec{b}=(~~~~~),~(2\vec{a}+3\vec{b})\cdot(3\vec{a}-2\vec{b})=(~~~~~)である.
(2) \overrightarrow{\mbox{AP}}=2s\vec{a}+(3-3s)\vec{b}で与えられる点Pが\bigtriangleupACFの内部に存在するような実数sの範囲は(  )である.
(3) 正六角形ABCDEFの外接円をSとする.Sの周上の任意の点Qに対して,ベクトル\vec{q}=\overrightarrow{\mbox{AQ}}(~~~~~)\vec{q}\cdot\vec{q}+(~~~~~)\vec{a}\cdot\vec{q}+2\vec{b}\cdot\vec{q}=0を満たす.

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