円のベクトル方程式２

2018年1月4日

１の続きです。ちょっとした発展問題です。

１．(旭川医大)
$a$ を正の定数とする． $\mbox{AB}=a,~\mbox{AC}=2a,~\angle\mbox{BAC}=\dfrac{2}{3}\pi$ である． $\bigtriangleup$ ABCと， $|2\overrightarrow{\mbox{AP}}-2\overrightarrow{\mbox{BP}}-\overrightarrow{\mbox{CP}}|=a$ を満たす動点Pがある．
(1) 辺BCを $1:2$ に内分する点をDとするとき， $|\overrightarrow{\mbox{AD}}|$ を求めよ．
(2) $|\overrightarrow{\mbox{AP}}|$ の最大値を求めよ．
(3) 線分APが通過してできる図形の面積 $S$ を求めよ．

２．(福岡大)
平面上の2つのベクトル $\vec{a},~\vec{b}$ のなす角は60°で， $|\vec{a}|=1,~|\vec{b}|=2$ である．このとき，点Pに関するベクトル方程式 $(\vec{p}+3\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{a}-k\vec{b})=0$ で表される円を $C$ とし，ベクトル方程式 $\vec{p}=-4\vec{a}+t\vec{b}$ で表される直線を $l$ とする．ただし， $k$ は定数とする．
(1) 円 $C$ の半径を $k$ を用いて表せ．
(2) 円 $C$ の中心から直線 $l$ に下ろした垂線と直線 $l$ との交点の位置ベクトルを $\vec{a},~\vec{b}$ と $k$ を用いて表せ．
(3) 直線 $l$ が円 $C$ と接するとき，定数 $k$ の値を求めよ．