円のベクトル方程式3

2018年1月7日

円のベクトル方程式の内積の最大最小問題への応用です。

1.(広島県立大)
原点をOとし,2つの定点A, Bの位置ベクトルをそれぞれ\vec{a},~\vec{b}とする.動点Pの位置ベクトル\vec{p}(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{b}を満たしている.
(1) Pは1つの円の周上にあることを示し,その円の半径と中心の位置ベクトルを\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.
(2) |\vec{a}|=|\vec{b}|=2,~\angle\mbox{AOB}=60^{\circ}のとき,\vec{p}\cdot\vec{a}の最大値と最小値を求めよ.

2.(南山大)
xy平面上に3点O(0,0), A(5,3), B(1,6)と円Kがある.K上の任意の点Pは(\vec{p}-\vec{a}) \cdot (\vec{p}-\vec{b})=0を満たす.ただし,\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}},~\vec{p}=\overrightarrow{\mbox{OP}}である.
(1) Kの中心が点Cであるとき,\overrightarrow{\mbox{OC}}\vec{a},~\vec{b}を用いて表せ.
(2) Kの半径rを求めよ.
(3) 点Q(6,8)に対し,\vec{q}=\overrightarrow{\mbox{OQ}}とする.m=\vec{p} \cdot \vec{q}とおくとき,mの最大値およびその値を与えるPの座標を求めよ.

3.
平面上に\mbox{OA}=2,~\mbox{OB}=1,~\angle\mbox{AOB}=60^{\circ}の三角形OABと動点Pがあって,\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AP}}+\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BP}}+\overrightarrow{\mbox{BP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OP}}=0を満たすとする.
(1) Pの軌跡を求めよ.
(2) \overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BP}}が最大となるのは,Pがどのような位置にあるときか.

解答

4.(福井大)
一辺の長さが2の正三角形ABCの外接円を円Oとする.点Pが円Oの周上を動くとき,
(1) 円Oの半径を求めよ.
(2) 内積の和\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{\mbox{PB}}+\overrightarrow{\mbox{PB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{PC}}+\overrightarrow{\mbox{PC}}\cdot\overrightarrow{\mbox{PA}}を求めよ.
(3) 内積\overrightarrow{\mbox{PA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{PB}}の最大値,最小値を求めよ.

解答

5.(岡山大)
平面上の異なる3点O, A, Bは同一直線上にないものとする.この平面上の点Pが2|\overrightarrow{\mbox{OP}}|^2-\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OP}}+2\overrightarrow{\mbox{OB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OP}}-\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}=0を満たすとする.
(1) 点Pの軌跡が円となることを示せ.
(2) (1)の円の中心をCとするとき,\overrightarrow{\mbox{OC}}\overrightarrow{\mbox{OA}}\overrightarrow{\mbox{OB}}で表せ.
(3) Oとの距離が最小となる(1)の円周上の点を\mbox{P}_0とする.A, Bが条件|\overrightarrow{\mbox{OA}}|^2+5\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}+4|\overrightarrow{\mbox{OB}}|^2=0を満たすとき,\overrightarrow{\mbox{OP}_0}=s\overrightarrow{\mbox{OA}}+t\overrightarrow{\mbox{OB}}となるs,~tの値を求めよ.

解答

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