円のベクトル方程式4

2018年1月7日

次はアポロ二ウスの円の問題です。

1.(明治学院大)
点A, BおよびPの位置ベクトルを,それぞれ\vec{a}, \vec{b}および\vec{p}で表す.Pが|\overrightarrow{\mbox{AP}}|=2|\overrightarrow{\mbox{BP}}|を満たしながら動くとき,\vec{p}の方程式はc_1,~c_2,~c_3,~c_4を定数として,|\vec{p}-c_1\vec{a}-c_2\vec{b}|^2=|c_3\vec{a}+c_4\vec{b}|^2と表される.このとき,c_1,~c_2,~c_3,~c_4の値を求めよ.

2.(兵庫医大)
座標平面上に定点A(2,2), B(7,-3)があり,点Pが2|\overrightarrow{\mbox{AP}}|=3|\overrightarrow{\mbox{BP}}|を満たすように動くとき,点Pが描く円の半径を求めよ.

3.(近畿大)
Oを原点とする座標平面上の2点A(-6,8), B(4,3)の位置ベクトルをそれぞれ\vec{a},~\vec{b}とする.2点P, Qの位置ベクトルをそれぞれ\vec{p},~\vec{q}とするとき,次の3つの条件が成り立っているとする.
|\vec{p}-\vec{a}|=|\vec{p}|,~2|\vec{q}-\vec{b}|=|\vec{q}|,~|\vec{p}| \leqq 10
(1) Pは直線y=(~~~~~)x+(~~~~~)上にある.点Pのx座標の最大値は(  )である.
(2) Qは点(  )を中心とする半径(  )の円の周上にある.したがって,Qのy座標の最小値は(  )である.
(3) PQが最小となるとき,Pの座標は(  )であり,\mbox{PQ}=(~~~~~)である.

4.(金沢大)
座標平面上で,原点Oを基準とする点Pの位置ベクトル\overrightarrow{\mbox{OP}}\vec{p}であるとき,点PをP(\vec{p})で表す.次の問いに答えよ.
(1) A(\vec{a})を原点Oと異なる点とする.
(ア) 点A(\vec{a})を通り,ベクトル\vec{a}に垂直な直線上の任意の点をP(\vec{p})とするとき,\vec{a}\cdot\vec{p}=|\vec{a}|^2が成り立つことを示せ.
(イ) ベクトル方程式|\vec{p}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{p}=0で表される図形を図示せよ.
(2) ベクトル\vec{b}=(1,1)に対して,不等式|\vec{p}-\vec{b}| \leqq |\vec{p}+3\vec{b}| \leqq 3|\vec{p}-\vec{b}|を満たす点P(\vec{p})全体が表す領域を図示せよ.

解答

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