円のベクトル方程式5

最後に\sin,~\cosを用いた円のベクトル方程式の問題です。

1.(同志社大)
Oを原点とする座標平面に点A(2,1)と点B(1,-2)をとる.実数\theta~(0 \leqq \theta < 2\pi)に対して点Pは\overrightarrow{\mbox{OP}}=(\cos\theta)\overrightarrow{\mbox{OA}}+(1-\sin\theta)\overrightarrow{\mbox{OB}}を満たすものとする.
(1) 内積\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}を求めよ.
(2) \theta0 \leqq \theta<2\piを満たす値をとって変化するとき,点Pの軌跡を求めよ.
(3) 内積\overrightarrow{\mbox{PA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{PB}}の最大値と,そのときの\thetaの値を求めよ.

2.(広島大)
0<\theta<\dfrac{\pi}{2}とする.原点Oを中心とする単位円周上の異なる3点A, B, Cが条件(\cos\theta)\overrightarrow{\mbox{OA}}+(\sin\theta)\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{0}を満たすとする.
(1) 2つのベクトル\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}}は垂直であることを証明せよ.
(2) |\overrightarrow{\mbox{CA}}|,~|\overrightarrow{\mbox{CB}}|\thetaを用いて表せ.
(3) 三角形ABCの周の長さ\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}を最大にする\thetaを求めよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ