斜交座標１

2018年1月4日2018年1月5日

斜交座標の問題です。今までは座標軸が直交するように座標軸を定め座標を考えてきました (これを直交座標という)が、座標軸を斜めに交わるようにとった方が都合が良かったりすることもあります。このときの座標を斜交座標と言います。要は $\vec{e_1}=(1,0),~\vec{e_2}=(0,1)$ を基準として $(x,y)=x\vec{e_1}+y\vec{e_2}$ のように表されたものが直交座標であり、任意の2つの1次独立であるベクトル $\vec{a},~\vec{b}$ を基準として $(s,t)=s\vec{a}+t\vec{b}$ のように表されたものが斜交座標です。つまり直交座標を拡張したものが斜交座標です。このときの $\vec{e_1}$ や $\vec{e_2}$ 、 $\vec{a}$ や $\vec{b}$ のように基準とするベクトルを基底といいます。基底をそれぞれ1辺とする平行四辺形が方眼の1マスとなっている方眼用紙で座標を考えようというだけに過ぎません。

１．(昭和薬科大)
ベクトル $\vec{a}=\left( \begin{array}{r} 4\\ 1 \end{array} \right),~ \vec{b}=\left( \begin{array}{r} 2\\ 3 \end{array} \right)$ がある． $s,~t$ を実数として，ベクトル $\overrightarrow{\mbox{OP}}$ を $\overrightarrow{\mbox{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ とする．
(1) $s=3,~t=2$ のとき，Pの座標を求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{OP}}=\left( \begin{array}{r} 7\\ 7 \end{array} \right)$ とするとき， $s=(~~~~~),~t=(~~~~~)$ である．
(3) $s,~t$ が $s \geqq 0,~t \geqq 0,~s+t=1$ を満たすとき，ベクトル $\overrightarrow{\mbox{OP}}$ で表される点Pの軌跡を図示せよ．
(4) $s,~t$ が $s \geqq 0,~t \geqq 0,~s-t=2$ を満たすとき，ベクトル $\overrightarrow{\mbox{OP}}$ で表される点Pの軌跡を図示せよ．

２．(山梨大)
座標平面上に3点O $(0,0)$ , A $(2,3)$ , B $(6,1)$ がある．点Pの位置が実数 $s,~t$ を用いて $\overrightarrow{\mbox{OP}}=s\overrightarrow{\mbox{OA}}+t\overrightarrow{\mbox{OB}}$ で表されている．次の場合それぞれについて，点Pの位置または存在範囲を図示せよ．
(1) $s=\dfrac{1}{2},~t=\dfrac{1}{2}$
(2) $s+t=1,~s \geqq 0,~t \geqq 0$
(3) $2s+3t=1,~s \geqq 0,~t \geqq 0$
(4) $s+t=2,~st < 0$

３．
Oを原点とする座標平面上に，2点A $(2,0)$ , B $(-1,\sqrt{3})$ と実数 $s,~t$ に対して， $\overrightarrow{\mbox{OP}}=s\overrightarrow{\mbox{OA}}+t\overrightarrow{\mbox{OB}}$ で定められる点Pがある．
(1) $s=1,~t=\sqrt{2}$ のとき，点Pの座標を求めよ．また，このとき， $\tan\angle\mbox{AOP}$ の値を求めよ．
(2) $s=1,~t>0$ のとき，点Pの軌跡を求めよ．
(3) 点Pの存在範囲が線分ABであるとき， $s$ と $t$ の関係式を求めよ．
(4) 点Pの存在範囲が $y=\sqrt{3}x$ であるとき， $s$ と $t$ の関係式を求めよ．

４．(上智大)
Oを原点とする座標平面において，2つのベクトル $\vec{a},~\vec{b}$ を $\vec{a}=\left( \begin{array}{r} 3\\ -1 \end{array} \right),~\vec{b}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 3 \end{array} \right)$ とする． $\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$ が表す点をP $(\vec{p})$ とする．
(1) $\vec{p}=\left( \begin{array}{r} 3\\ 4 \end{array} \right)$ とするとき， $s,~t$ の値を求めよ．
(2) 点Pの存在範囲が2点 $(3,4),~(13,6)$ を通る直線上であるとき， $s,~t$ の間に成り立つ関係式を求めよ．

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