斜交座標4

終点の存在範囲の最大最小問題への応用問題です。

1.(室蘭工業大)
不等式s \geqq 0,~t \geqq 0,~1 \leqq s+2t \leqq 2をみたすs,~tと,平面上の3点O(0,0), A(1,2), B(4,2)に対して点Pを\overrightarrow{\mbox{OP}}=s\overrightarrow{\mbox{OA}}+t\overrightarrow{\mbox{OB}}と定める.
(1) このような点Pの全体からなる図形の面積を求めよ.
(2) このようなすべての点Pに対して,内積\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OA}}がとる値の範囲を求めよ.

2.(東北大)
平面上で原点Oと3点A(3,1), B(1,2), C(-1,1)を考える.実数s,~tに対し,点Pを\overrightarrow{\mbox{OP}}=s\overrightarrow{\mbox{OA}}+t\overrightarrow{\mbox{OB}}により定める.
(1) s,~tが条件-1 \leqq s \leqq 1,~-1 \leqq t \leqq 1,~-1 \leqq s+t \leqq 1を満たすとき,点P(s,t)の存在する範囲Dを図示せよ.
(2) 点Pが(1)で求めた範囲Dを動くとき,内積\overrightarrow{\mbox{OP}} \cdot \overrightarrow{\mbox{OC}}の最大値を求め,そのときのPの座標を求めよ.

3.(大阪府立大)
平面上に4点O, A, B, Cがあり,点Oを始点とするそれぞれの位置ベクトルを\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}とし,|\vec{a}|=\sqrt{2},~|\vec{b}|=\sqrt{10},~\vec{a}\cdot\vec{b}=2,~\vec{a}\cdot\vec{c}=8,~\vec{b}\cdot\vec{c}=20が成り立つとする.
(1) \vec{c}\vec{a}\vec{b}を用いて表せ.
(2) 点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする.このとき,ベクトル\overrightarrow{\mbox{OH}}\vec{a}\vec{b}を用いて表せ.また,|\overrightarrow{\mbox{CH}}|を求めよ.
(3) 実数s,~tに対して,点Pを\overrightarrow{\mbox{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}で定める.s,~tが条件(s+t-1)(s+3t-3) \leqq 0を満たしながら変化するとき,|\overrightarrow{\mbox{CP}}|の最小値を求めよ.

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