斜交座標４

2018年1月5日

終点の存在範囲の最大最小問題への応用問題です。

１．(室蘭工業大)
不等式 $s \geqq 0,~t \geqq 0,~1 \leqq s+2t \leqq 2$ をみたす $s,~t$ と，平面上の3点O $(0,0)$ , A $(1,2)$ , B $(4,2)$ に対して点Pを $\overrightarrow{\mbox{OP}}=s\overrightarrow{\mbox{OA}}+t\overrightarrow{\mbox{OB}}$ と定める．
(1) このような点Pの全体からなる図形の面積を求めよ．
(2) このようなすべての点Pに対して，内積 $\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OA}}$ がとる値の範囲を求めよ．

２．(東北大)
平面上で原点Oと3点A $(3,1)$ , B $(1,2)$ , C $(-1,1)$ を考える．実数 $s,~t$ に対し，点Pを $\overrightarrow{\mbox{OP}}=s\overrightarrow{\mbox{OA}}+t\overrightarrow{\mbox{OB}}$ により定める．
(1) $s,~t$ が条件 $-1 \leqq s \leqq 1,~-1 \leqq t \leqq 1,~-1 \leqq s+t \leqq 1$ を満たすとき，点P $(s,t)$ の存在する範囲 $D$ を図示せよ．
(2) 点Pが(1)で求めた範囲 $D$ を動くとき，内積 $\overrightarrow{\mbox{OP}} \cdot \overrightarrow{\mbox{OC}}$ の最大値を求め，そのときのPの座標を求めよ．

３．(大阪府立大)
平面上に4点O, A, B, Cがあり，点Oを始点とするそれぞれの位置ベクトルを $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ とし， $|\vec{a}|=\sqrt{2},~|\vec{b}|=\sqrt{10},~\vec{a}\cdot\vec{b}=2,~\vec{a}\cdot\vec{c}=8,~\vec{b}\cdot\vec{c}=20$ が成り立つとする．
(1) $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ．
(2) 点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする．このとき，ベクトル $\overrightarrow{\mbox{OH}}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ．また， $|\overrightarrow{\mbox{CH}}|$ を求めよ．
(3) 実数 $s,~t$ に対して，点Pを $\overrightarrow{\mbox{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ で定める． $s,~t$ が条件 $(s+t-1)(s+3t-3) \leqq 0$ を満たしながら変化するとき， $|\overrightarrow{\mbox{CP}}|$ の最小値を求めよ．

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