斜交座標７

2018年1月6日2018年1月7日

最後に原点を頂点にもたない三角形の頂点の位置ベクトルの関係式から終点の存在範囲を求める問題です。

１．(東京都立大)
平面上に三角形ABCと点Oがある．
(1) 実数 $s,~t$ が $s \geqq 0,~t \geqq 0,~s+t \leqq 1$ を満たすように動くとき $\overrightarrow{\mbox{AP}}=s\overrightarrow{\mbox{AB}}+t\overrightarrow{\mbox{AC}}$ で定められる平面上の点Pの描く図形を求めよ．
(2) 実数 $a,~b,~c$ が $a \geqq 0,~b \geqq 0,~c \geqq 0,~a+b+c=1$ を満たすように動くとき $\overrightarrow{\mbox{OP}}=a\overrightarrow{\mbox{OA}}+b\overrightarrow{\mbox{OB}}+c\overrightarrow{\mbox{OC}}$ で定められる点Pの描く図形を求めよ．
(3) 実数 $a,~b,~c$ が $a \geqq -1,~b \geqq 0,~c \geqq 0,~a+b+c=1$ を満たすように動くとき $\overrightarrow{\mbox{OP}}=a\overrightarrow{\mbox{OA}}+b\overrightarrow{\mbox{OB}}+c\overrightarrow{\mbox{OC}}$ で定められる点Pの描く図形を求めよ．

２．(龍谷大)
平面上の3点をA $(-1,1)$ , B $(3,0)$ , C $(2,4)$ とし， $\bigtriangleup$ ABC内に点P $(2,2)$ をとる．
(1) $\overrightarrow{\mbox{AP}}=m\overrightarrow{\mbox{AB}}+n\overrightarrow{\mbox{AC}}$ を満たすように， $m,~n$ の値を求めよ．
(2) 原点Oから点Q $(x,y)$ へ向かうベクトル $\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ は， $\overrightarrow{\mbox{OQ}}=r\overrightarrow{\mbox{OA}}+s\overrightarrow{\mbox{OB}}+t\overrightarrow{\mbox{OC}}$ と表されている． $r,~s,~t$ が $r+s+t=2,~r \geqq 0,~s \geqq 0,~t \geqq 0$ を満たすとき，そのような点Qの存在する範囲を図示せよ．

３．(岐阜大)
平面上に三角形ABCがある．実数 $k$ に対して，点Pが， $\overrightarrow{\mbox{PA}}+2\overrightarrow{\mbox{PB}}+3\overrightarrow{\mbox{PC}}=k\overrightarrow{\mbox{AB}}$ を満たすものとする．
(1) $k=0$ のとき，点Pの位置を求めよ．
(2) $k$ が実数全体を動くとき，点Pの軌跡を求めよ．
(3) 点Pが三角形ABCの内部にあるような $k$ の範囲を求めよ．

４．(静岡大)
平面上に $\bigtriangleup$ ABCがある．実数 $a,~b,~c$ は条件
(＊) $a<0,~b>0,~c>0,~a+b+c \ne 0$
をみたし，点Pは $a\overrightarrow{\mbox{PA}}+b\overrightarrow{\mbox{PB}}+c\overrightarrow{\mbox{PC}}=\vec{0}$ をみたしている．また，辺BCを $c:b$ の比に内分する点をDとする．このとき，
(1) $\overrightarrow{\mbox{AD}}$ を $\overrightarrow{\mbox{AB}}$ と $\overrightarrow{\mbox{AC}}$ を用いて表せ．
(2) $a,~b,~c$ が条件(＊)をみたしながら動くとき，Pの存在する範囲を図示せよ．
(3) $a=-1,~b=2,~c=3$ のとき， $\bigtriangleup$ ABDと $\bigtriangleup$ CDPの面積の比を求めよ．

５．(早稲田大)
平面上に一直線上にはない3点A, B, Cがある．点Pが
$a\overrightarrow{\mbox{PA}}+b\overrightarrow{\mbox{PB}}+c\overrightarrow{\mbox{PC}}=\vec{0},~a>0,~b<0,~c<0,~a+b+c<0$
を満たすならば，点Pは図の番号(　　)の範囲に存在する．

６．(長崎大)
平面上に $\bigtriangleup$ ABCと点Pがあり，
$\alpha\overrightarrow{\mbox{PA}}+\beta\overrightarrow{\mbox{PB}}+\gamma\overrightarrow{\mbox{PC}}=\vec{0},~\alpha \geqq 0,~\beta \geqq 0,~\gamma \geqq 0,~\alpha+\beta+\gamma=1$
となる．
(1) 点Pは $\bigtriangleup$ ABCの周または内部にあることを示せ．
(2) $\bigtriangleup$ ABCが辺長1の正三角形のとき，その内心をIとして， $|\overrightarrow{\mbox{IP}}|^2$ を $\beta,~\gamma$ で表せ．
(3) (2)において，点Pが点Iを中心とする $\bigtriangleup$ ABCの内接円上にあるための必要十分条件は $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{1}{4}$ であることを示せ．

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