ベクトルと軌跡・領域１

2018年1月6日

ベクトルがからんだ軌跡と領域の問題です。

１．(山梨大)
Oを原点とする座標平面上に，半径 $r$ ，中心Aの位置ベクトル $\vec{a}$ の円 $C$ を考え，その円周上の点Pの位置ベクトルを $\vec{p}$ とする．また，円 $C$ の外部に点Bを考え，その位置ベクトルを $\vec{b}$ とする．さらに，点Bと点Pの中点をQ，その位置ベクトルを $\vec{q}$ ，点Pが円周上を動くとき点Qが描く図形を $D$ とする．
(1) 円 $C$ を表すベクトル方程式を求めよ．
(2) 図形 $D$ を表すベクトル方程式を求めよ．
(3) $r=1,~\vec{a}=(2,5),~\vec{b}=(-1,1)$ のとき， $\vec{q}=(x,y)$ とおいて図形 $D$ を表す方程式を求めよ．

２．(岡山大)
平面上に，異なる2定点O, Aと，OAを直径とする円 $C$ を考える．円 $C$ 上に点Bをとり， $\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}}$ とする．
(1) 点BがO, Aと異なるとき， $\bigtriangleup$ OABの重心をGとする．位置ベクトル $\overrightarrow{\mbox{OG}}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表せ．
(2) この平面上で， $\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AP}}+\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BP}}+\overrightarrow{\mbox{BP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OP}}=0$ を満たす点Pの全体よりなる円の中心をD，半径を $r$ とする．位置ベクトル $\overrightarrow{\mbox{OD}}$ および $r$ を， $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ．
(3) (2)において，点Bが円 $C$ 上を動くとき，点Dが描く図形のベクトル方程式を求めよ．

３．(京都大)
$xy$ 平面の原点Oを中心とし半径1の円 $C$ 上に定点Aをとる．同じ円上の点Xに対し，平面上の点Yを $\overrightarrow{\mbox{OY}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}-2(\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OX}})\overrightarrow{\mbox{OX}}$ で定める．
(1) $|\overrightarrow{\mbox{OY}}|=1$ であることを示せ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{OY}}=-\overrightarrow{\mbox{OA}}$ となる点Xをすべて求めよ．
(3) 点Xが円 $C$ を1回まわるとき，点Yは同じ円を2回まわることを示せ．

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