ベクトルと軌跡・領域1

ベクトルがからんだ軌跡と領域の問題です。

1.(山梨大)
Oを原点とする座標平面上に,半径r,中心Aの位置ベクトル\vec{a}の円Cを考え,その円周上の点Pの位置ベクトルを\vec{p}とする.また,円Cの外部に点Bを考え,その位置ベクトルを\vec{b}とする.さらに,点Bと点Pの中点をQ,その位置ベクトルを\vec{q},点Pが円周上を動くとき点Qが描く図形をDとする.
(1) 円Cを表すベクトル方程式を求めよ.
(2) 図形Dを表すベクトル方程式を求めよ.
(3) r=1,~\vec{a}=(2,5),~\vec{b}=(-1,1)のとき,\vec{q}=(x,y)とおいて図形Dを表す方程式を求めよ.

2.(岡山大)
平面上に,異なる2定点O, Aと,OAを直径とする円Cを考える.円C上に点Bをとり,\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}}とする.
(1) 点BがO, Aと異なるとき,\bigtriangleupOABの重心をGとする.位置ベクトル\overrightarrow{\mbox{OG}}\vec{a}\vec{b}で表せ.
(2) この平面上で,\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AP}}+\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BP}}+\overrightarrow{\mbox{BP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OP}}=0を満たす点Pの全体よりなる円の中心をD,半径をrとする.位置ベクトル\overrightarrow{\mbox{OD}}およびrを,\vec{a}\vec{b}を用いて表せ.
(3) (2)において,点Bが円C上を動くとき,点Dが描く図形のベクトル方程式を求めよ.

3.(京都大)
xy平面の原点Oを中心とし半径1の円C上に定点Aをとる.同じ円上の点Xに対し,平面上の点Yを\overrightarrow{\mbox{OY}}=\overrightarrow{\mbox{OA}}-2(\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OX}})\overrightarrow{\mbox{OX}}で定める.
(1) |\overrightarrow{\mbox{OY}}|=1であることを示せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{OY}}=-\overrightarrow{\mbox{OA}}となる点Xをすべて求めよ.
(3) 点Xが円Cを1回まわるとき,点Yは同じ円を2回まわることを示せ.

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