ベクトルと軌跡・領域2

次は三角形の五心がからんだ軌跡の問題です。

1.(神戸大)
\bigtriangleupOABの辺OA, OB (両端の点は除く)上に,それぞれ動点P, Qがあり,関係2\overrightarrow{\mbox{OP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}+2\overrightarrow{\mbox{OQ}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OA}}=3\overrightarrow{\mbox{OA}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OB}}を満たしながら動いている.このとき,\bigtriangleupOPQの重心Gの動く範囲を図示せよ.ただし,記号\overrightarrow{\mbox{OX}}\cdot\overrightarrow{\mbox{OY}}は,ベクトル\overrightarrow{\mbox{OX}}\overrightarrow{\mbox{OY}}の内積を表す.

2.(大阪女子大)
平面上に同一直線上にない3点O, A, Bがある.\angle\mbox{AOB}の2等分線をlとし,直線lと直交し点Aを通る直線をmとする.
(1) 直線l上の点をPとするとき,\overrightarrow{\mbox{OP}}\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}}を用いて表せ.
(2) 直線m上の点をQとするとき,\overrightarrow{\mbox{OQ}}\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}}を用いて表せ.
(3) 直線lmの交点をRとする.点A, Oを固定して,点Bが点Oの周りを1周するとき,点Rの軌跡を求めよ.

3.(職業能力開発大)
平面上の点Oを中心とする半径rの円周上に,3点A, B, Cがある.各点に対して,中心Oからの位置ベクトルを,それぞれ\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とする.さらに,位置ベクトル\overrightarrow{\mbox{OH}}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}として,点Hを定める.
(1) \overrightarrow{\mbox{AH}}\overrightarrow{\mbox{BC}}の内積を求めよ.
(2) 点A, Bを固定し,\vec{a}\vec{b}のなす角が120°とする.点Cがこの円周上を動くとき,点Hの軌跡はどうなるか.

4.(名古屋市立大)
xy平面上において,原点Oを中心とする正六角形ABCDEFの3つの頂点の座標が,A(0,2), B(\sqrt{3},1), C(\sqrt{3},-1)であるとき,
(1) 辺CDの中点をL,線分ALの中点をMとし,直線FMと辺BCの交点をNとする.\mbox{FM}:\mbox{MN},~\mbox{BN}:\mbox{NC}の比の値をそれぞれ求めよ.
(2) |\overrightarrow{\mbox{BP}}+\overrightarrow{\mbox{FP}}|=|\overrightarrow{\mbox{BF}}|を満たす点Pの描く図形の方程式を求めよ.
(3) BF上の点Q(q,1)-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}を満たす任意の点であるとき,\bigtriangleupQCEの垂心Hの描く図形の方程式を求めよ.

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