ベクトルと軌跡・領域３

2018年1月6日

次は反転の問題です。

１．(前橋工科大)
座標平面上に原点Oを中心とする半径1の円 $C$ がある． $C$ 上に点Aをとる．また，この平面上のOでない点Pに対して点Qを次の条件で定める．
(ⅰ) $\overrightarrow{\mbox{OP}}$ と $\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ は同じ向きである．
(ⅱ) $|\overrightarrow{\mbox{OP}}||\overrightarrow{\mbox{OQ}}|=1$
(1) Oに関するPの位置ベクトル $\vec{p}$ を用いて，Qの位置ベクトルを表せ．
(2) PがAにおける $C$ の接線上を動くとき，Qはどのような図形を描くか説明し，図示せよ．

２．(大阪大)
$xy$ 平面において，原点Oを通る半径 $r~(r>0)$ の円を $C$ とし，その中心をAとする．Oを除く $C$ 上の点Pに対し，次の2つの条件(a), (b)で定まる点Qを考える．
(a) $\overrightarrow{\mbox{OP}}$ と $\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ の向きが同じ．
(b) $|\overrightarrow{\mbox{OP}}||\overrightarrow{\mbox{OQ}}|=1$
(1) 点PがOを除く $C$ 上を動くとき，点Qは $\overrightarrow{\mbox{OA}}$ に直交する直線上を動くことを示せ．
(2) (1)の直線を $l$ とする． $l$ が $C$ と2点で交わるとき， $r$ のとりうる値の範囲を求めよ．