ベクトルと軌跡・領域4

最後に点の動く領域の問題です。

1.(熊本県立大)
xy平面上に2点A(-1,-2), B(1,-2)がある.線分OAを(1-\alpha):\alphaの比に分ける点をP,線分OBを\alpha:(1-\alpha)の比に分ける点をQとする.さらに,線分PQを\beta:(1-\beta)の比に分ける点をRとする.実数\alpha,~\beta0 \leqq \alpha \leqq 1,~0 \leqq \beta \leqq 1を動くとき,点Rの存在する範囲を図示せよ.ただし,Oは原点である.

2.(東京大)
1辺の長さが1の正六角形ABCDEFが与えられている.点Pが辺AB上を,点Qが辺CD上をそれぞれ独立に動くとき,線分PQを2:1に内分する点Rが通りうる範囲の面積を求めよ.

3.(京都大)
三角形ABCに対し,辺AB上に点Pを,辺BC上に点Qを,辺CA上に点Rを,頂点とは異なるようにとる.この3点がそれぞれの辺上を動くとき,この3点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ.

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