平行条件

2018年1月25日

空間ベクトルの平行条件あるいは3点が同一直線上にある条件 (共線条件)の問題です。

1.((1) 立教大 (2) 北里大)
(1) 3点A(2,3,4), B(3,-2,-1), C(m,n,5)が同一直線上にあるとき,m,~nの値を求めよ.
(2) 3点A(a,3,11), B(-1,b,5), C(3,-5,-1)が一直線上にあるとき,a,~bの値とABの長さを求めよ.

2.((2) 防衛大)
(1) 4点A(9,3,5), B(5,1,2), C(-2,-4,3), Dを頂点とする平行四辺形ABCDにおいて,頂点Dの座標を求めよ.
(2) 4点A(1,-2,-3), B(2,1,1), C(-1,-3,2), D(3,-4,-1)がある.線分AB, AC, ADを3辺とする平行六面体の他の頂点の座標を求めよ.

3.(静岡大)
四面体ABCDにおいて,\bigtriangleupBCDの重心をGとする.
(1) ベクトル\overrightarrow{\mbox{AG}}をベクトル\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{AC}},~\overrightarrow{\mbox{AD}}で表せ.
(2) 線分AGを3:1に内分する点をE,\bigtriangleupACDの重心をFとする.このとき,3点B, E, Fは一直線上にあり,EはBFを3:1に内分する点であることを示せ.

4.(岩手大)
2つずつ平行な3組の平面で囲まれた立体を平行六面体という.平行六面体OADB-CQRSにおいて,\bigtriangleupABCの重心をF,\bigtriangleupDQSの重心をGとする.また,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とおく.
(1) \overrightarrow{\mbox{OG}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}で表せ.
(2) 4点O, F, G, Rは同一直線上にあることを示せ.

5.(南山大)
四面体OABCにおいて,辺ABの中点をP,線分PCの交点をQとする.また,0<m<1に対し,線分OQをm:(1-m)に内分する点をR,直線ARと平面OBCの交点をSとする.ただし,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OP}},~\overrightarrow{\mbox{OQ}},~\overrightarrow{\mbox{OR}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}mで表せ.
(2) \mbox{AR}:\mbox{RS}mで表せ.
(3) 辺OAと線分SQが平行となるとき,mの値を求めよ.

6.(宮城教育大)
空間において,同一平面上にない2つの三角形ABCとA’B’C’について,\overrightarrow{\mbox{A'B'}}=2\overrightarrow{\mbox{AB}},~\overrightarrow{\mbox{B'C'}}=2\overrightarrow{\mbox{BC}},~\overrightarrow{\mbox{C'A'}}=2\overrightarrow{\mbox{CA}}が成り立っているとする.
(1) 線分A’Aを2:1に外分する点をPとするとき,点Pは線分B’Bおよび線分C’Cを2:1に外分することを示せ.
(2) 5点P, A, B, A’, B’を含む平面上で,直線A’Bと直線AB’の交点をDとする.このとき,\overrightarrow{\mbox{PD}}\overrightarrow{\mbox{PA}},~\overrightarrow{\mbox{PB}}を用いて表せ.
(3) 直線B’Cと直線BC’の交点をE,直線C’Aと直線CA’の交点をFとする.さらに,三角形ABC, A’B’C’, DEFの重心をそれぞれG, G’, Hとする.このとき,3点G, G’, Hが同一直線上にあることを示せ.

解答

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