共面条件1

2018年1月25日

共面条件の問題です。4点が同一平面上にあるとき4点は共面であるといいます。あるいは、3つのベクトルが同一平面上にある条件の問題です。

1.(関西大)
空間の4点A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(3,-5,z)が同じ平面上にあるとき,zの値を求めよ.

2.(大分大)
四面体ABCDにおいて,線分BDを3:1に内分する点をE,線分CEを2:3に内分する点をF,線分AFを1:2に内分する点をG,直線DGが3点A, B, Cを含む平面と交わる点をHとする.\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{AB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{AC}},~\vec{d}=\overrightarrow{\mbox{AD}}とおくとき
(1) \overrightarrow{\mbox{AF}}\vec{b},~\vec{c},~\vec{d}を用いて表せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{DH}}\vec{b},~\vec{c},~\vec{d}を用いて表し,比\mbox{DG}:\mbox{GH}を求めよ.

3.
四面体OABCの辺OAの中点をK,辺OBを1:4に内分する点をL,辺CAを2:1に内分する点をM,辺CBを1:2に内分する点をNとする.\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とするとき,
(1) \overrightarrow{\mbox{KL}},~\overrightarrow{\mbox{KM}},~\overrightarrow{\mbox{KN}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) 4点K, L, M, Nは同一平面上にあることを示せ.

4.(滋賀大)
三角すいOABCにおいて,点R, S, Tをそれぞれ辺OA, AB, OC上に\mbox{OR}:\mbox{RA}=1:3,~\mbox{AS}:\mbox{SB}=1:1,~\mbox{OT}:\mbox{TC}=1:9となるようにとる.\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とおくとき
(1) \overrightarrow{\mbox{RS}},~\overrightarrow{\mbox{RT}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) 辺BC上の点Pを\overrightarrow{\mbox{BP}}=t\overrightarrow{\mbox{BC}}で定めるとき,\overrightarrow{\mbox{RP}}t,~\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(3) 点Pが3点R, S, Tで決まる平面上にあるとき,(2)におけるtの値を求めよ.

5.(熊本大)
平行六面体OADB-CEGFにおいて,辺OAの中点をM,辺ADを2:3に内分する点をM,辺DGを1:2に内分する点をLとする.また,辺OCをk:(1-k)~(0<k<1)に内分する点をKとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とするとき,\overrightarrow{\mbox{MN}},~\overrightarrow{\mbox{ML}},~\overrightarrow{\mbox{MK}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) 3点M, N, Kの定める平面上に点Lがあるとき,kの値を求めよ.
(3) 3点M, N, Kの定める平面が辺GFと交点をもつようなkの値の範囲を求めよ.

解答

6.(神戸大)
四面体ABCDにおいて,辺AB, BC, CD, DAの中点をそれぞれO, P, Q, Rとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OQ}}\overrightarrow{\mbox{OP}}\overrightarrow{\mbox{OR}}を用いて表せ.
(2) 辺AC, BD上にそれぞれ任意に点E, Fをとるとき,線分EFの中点は4点O, P, Q, Rを含む平面上にあることを証明せよ.

7.(京都大)
四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDは\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}=\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OD}}を満たしており,0と異なる4つの実数p,~q,~r,~sに対して4点P, Q, R, Sを\overrightarrow{\mbox{OP}}=p\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OQ}}=q\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OR}}=r\overrightarrow{\mbox{OC}},~\overrightarrow{\mbox{OS}}=s\overrightarrow{\mbox{OD}}によって定める.
このとき,P, Q, R, Sが同一平面上にあれば\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{s}が成り立つことを示せ.

8.(東京医科歯科大)
四面体OABCの辺OA, OB上にそれぞれ点D, Eをとる.ただし,点Dは点A, Oとは異なり,AEとBDの交点Fは線分AE, BDをそれぞれ2:1,~3:1に内分している.また,辺BCをt:1~(t>0)に内分する点Pをとり,CEとOPの交点をQとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OF}}\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}}を用いて表せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{OQ}}\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OC}}およびtを用いて表せ.
(3) 直線FQと平面ABCが平行になるようなtの値を求めよ.

解答

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