共面条件１

2018年1月8日2018年1月25日

共面条件の問題です。4点が同一平面上にあるとき4点は共面であるといいます。あるいは、3つのベクトルが同一平面上にある条件の問題です。

１．(関西大)
空間の4点A $(1,0,0)$ , B $(0,1,0)$ , C $(0,0,1)$ , D $(3,-5,z)$ が同じ平面上にあるとき， $z$ の値を求めよ．

２．(大分大)
四面体ABCDにおいて，線分BDを $3:1$ に内分する点をE，線分CEを $2:3$ に内分する点をF，線分AFを $1:2$ に内分する点をG，直線DGが3点A, B, Cを含む平面と交わる点をHとする． $\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{AB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{AC}},~\vec{d}=\overrightarrow{\mbox{AD}}$ とおくとき
(1) $\overrightarrow{\mbox{AF}}$ を $\vec{b},~\vec{c},~\vec{d}$ を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{DH}}$ を $\vec{b},~\vec{c},~\vec{d}$ を用いて表し，比 $\mbox{DG}:\mbox{GH}$ を求めよ．

３．
四面体OABCの辺OAの中点をK，辺OBを $1:4$ に内分する点をL，辺CAを $2:1$ に内分する点をM，辺CBを $1:2$ に内分する点をNとする． $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とするとき，
(1) $\overrightarrow{\mbox{KL}},~\overrightarrow{\mbox{KM}},~\overrightarrow{\mbox{KN}}$ を $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ を用いて表せ．
(2) 4点K, L, M, Nは同一平面上にあることを示せ．

４．(滋賀大)
三角すいOABCにおいて，点R, S, Tをそれぞれ辺OA, AB, OC上に $\mbox{OR}:\mbox{RA}=1:3,~\mbox{AS}:\mbox{SB}=1:1,~\mbox{OT}:\mbox{TC}=1:9$ となるようにとる． $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおくとき
(1) $\overrightarrow{\mbox{RS}},~\overrightarrow{\mbox{RT}}$ を $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ を用いて表せ．
(2) 辺BC上の点Pを $\overrightarrow{\mbox{BP}}=t\overrightarrow{\mbox{BC}}$ で定めるとき， $\overrightarrow{\mbox{RP}}$ を $t,~\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ を用いて表せ．
(3) 点Pが3点R, S, Tで決まる平面上にあるとき，(2)における $t$ の値を求めよ．

５．(熊本大)
平行六面体OADB-CEGFにおいて，辺OAの中点をM，辺ADを $2:3$ に内分する点をM，辺DGを $1:2$ に内分する点をLとする．また，辺OCを $k:(1-k)~(0<k<1)$ に内分する点をKとする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とするとき， $\overrightarrow{\mbox{MN}},~\overrightarrow{\mbox{ML}},~\overrightarrow{\mbox{MK}}$ を $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ を用いて表せ．
(2) 3点M, N, Kの定める平面上に点Lがあるとき， $k$ の値を求めよ．
(3) 3点M, N, Kの定める平面が辺GFと交点をもつような $k$ の値の範囲を求めよ．

→解答

６．(神戸大)
四面体ABCDにおいて，辺AB, BC, CD, DAの中点をそれぞれO, P, Q, Rとする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ を $\overrightarrow{\mbox{OP}}$ と $\overrightarrow{\mbox{OR}}$ を用いて表せ．
(2) 辺AC, BD上にそれぞれ任意に点E, Fをとるとき，線分EFの中点は4点O, P, Q, Rを含む平面上にあることを証明せよ．

７．(京都大)
四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDは $\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OC}}=\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OD}}$ を満たしており，0と異なる4つの実数 $p,~q,~r,~s$ に対して4点P, Q, R, Sを $\overrightarrow{\mbox{OP}}=p\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OQ}}=q\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OR}}=r\overrightarrow{\mbox{OC}},~\overrightarrow{\mbox{OS}}=s\overrightarrow{\mbox{OD}}$ によって定める．
このとき，P, Q, R, Sが同一平面上にあれば $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{s}$ が成り立つことを示せ．

８．(東京医科歯科大)
四面体OABCの辺OA, OB上にそれぞれ点D, Eをとる．ただし，点Dは点A, Oとは異なり，AEとBDの交点Fは線分AE, BDをそれぞれ $2:1,~3:1$ に内分している．また，辺BCを $t:1~(t>0)$ に内分する点Pをとり，CEとOPの交点をQとする．
(1) $\overrightarrow{\mbox{OF}}$ を $\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OB}}$ を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ を $\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OC}}$ および $t$ を用いて表せ．
(3) 直線FQと平面ABCが平行になるような $t$ の値を求めよ．