1次独立

空間内の3つのベクトルが1次独立であるということがどういうことかをしっかり理解して下さい。まずはベクトルの分解から。

1.
Ⅰ.平行六面体ABCD-EFGHにおいて,\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AD}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{AE}}=\vec{c}とするとき,次のベクトルを\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}で表せ.
(1) \overrightarrow{\mbox{EF}}
(2) \overrightarrow{\mbox{GF}}
(3) \overrightarrow{\mbox{AC}}
(4) \overrightarrow{\mbox{AG}}
(5) \overrightarrow{\mbox{HB}}
Ⅱ.\vec{a}=\left( \begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right),~ \vec{b}=\left( \begin{array}{r} 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right),~ \vec{c}=\left( \begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0 \end{array} \right)のとき,次のベクトルをl\vec{a}+m\vec{b}+n\vec{c}の形に表せ.
(1) \vec{p}=\left( \begin{array}{r} 3\\ 3\\ 5 \end{array} \right)
(2) \vec{q}=\left( \begin{array}{r} -2\\ 3\\ -5 \end{array} \right)

次に1次独立と分解の一意性について。

2.
空間に三角形ABCがあるとし,空間の原点Oは,この三角形が決定する平面上にはないとする.
(1) 実数u,~v,~wが,等式u\overrightarrow{\mbox{OA}}+v\overrightarrow{\mbox{OB}}+w\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{0}をみたすならば,u=v=w=0であることを示せ.
(2) 空間の任意のベクトル\vec{x}\vec{x}=u\overrightarrow{\mbox{OA}}+v\overrightarrow{\mbox{OB}}+w\overrightarrow{\mbox{OC}}とただ1通りに表すことができることを示せ.

3.(小樽商科大)
立方体ABCD-EFGHにおいて,
\overrightarrow{\mbox{BH}}=u_1\overrightarrow{\mbox{AC}}+u_2\overrightarrow{\mbox{AF}}+u_3\overrightarrow{\mbox{AH}}
とおくとき,(u_1,u_2,u_3)=(~~~~~)

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