分点公式

2018年1月8日2018年1月25日

分点公式の問題です。

１．(大阪府立大)
四面体OABCに平面 $\alpha$ が辺OA, AB, BC, OCとそれぞれP, Q, R, Sで $\mbox{OP}:\mbox{PA}=\mbox{AQ}:\mbox{QB}=\mbox{BR}:\mbox{RC}=1:2$ を満たすように交わっている． $\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}}$ とし， $\overrightarrow{\mbox{OS}}=s\vec{c}$ とおく．
(1) $\overrightarrow{\mbox{PQ}},~\overrightarrow{\mbox{PR}},~\overrightarrow{\mbox{PS}}$ を $s,~\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ を用いて表せ．
(2) $s$ の値を求めよ．

次は交点のベクトルの問題です。

２．(岡山大)
四面体OABCにおいて，辺ABの中点をE，辺OCを $2:1$ に内分する点をF，辺OAを $1:2$ に内分する点をPとする．また，Qを $\overrightarrow{\mbox{BQ}}=t\overrightarrow{\mbox{BC}}$ をみたす辺BC上の点とする．PQとEFが交わるとき，実数 $t$ の値を求めよ．

３．(名古屋大)
1辺の長さが1の正四面体OABCを考え， $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とする．動点PはOからAへ辺OA上を秒速1で，動点QはAからBへ辺AB上を秒速 $\dfrac{1}{2}$ で，動点RはBからCへ辺BC上を秒速1で，動点SはCからOへ辺CO上を秒速 $\dfrac{1}{2}$ で，同時に動き出す．
(1) 動き出してから $t$ 秒後 $(0 \leqq t \leqq 1)$ のベクトル $\overrightarrow{\mbox{OP}},~\overrightarrow{\mbox{OQ}},~\overrightarrow{\mbox{OR}},~\overrightarrow{\mbox{OS}}$ を $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ および $t$ を用いて表せ．
(2) 線分PRと線分QSが交点Mをもつときの $t~(0 \leqq t \leqq 1)$ の値を求め，ベクトル $\overrightarrow{\mbox{OM}}$ を $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ を用いて表せ．