分点公式

2018年1月25日

分点公式の問題です。

1.(大阪府立大)
四面体OABCに平面\alphaが辺OA, AB, BC, OCとそれぞれP, Q, R, Sで\mbox{OP}:\mbox{PA}=\mbox{AQ}:\mbox{QB}=\mbox{BR}:\mbox{RC}=1:2を満たすように交わっている.\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}}とし,\overrightarrow{\mbox{OS}}=s\vec{c}とおく.
(1) \overrightarrow{\mbox{PQ}},~\overrightarrow{\mbox{PR}},~\overrightarrow{\mbox{PS}}s,~\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) sの値を求めよ.

次は交点のベクトルの問題です。

2.(岡山大)
四面体OABCにおいて,辺ABの中点をE,辺OCを2:1に内分する点をF,辺OAを1:2に内分する点をPとする.また,Qを\overrightarrow{\mbox{BQ}}=t\overrightarrow{\mbox{BC}}をみたす辺BC上の点とする.PQとEFが交わるとき,実数tの値を求めよ.

3.(名古屋大)
1辺の長さが1の正四面体OABCを考え,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とする.動点PはOからAへ辺OA上を秒速1で,動点QはAからBへ辺AB上を秒速\dfrac{1}{2}で,動点RはBからCへ辺BC上を秒速1で,動点SはCからOへ辺CO上を秒速\dfrac{1}{2}で,同時に動き出す.
(1) 動き出してからt秒後(0 \leqq t \leqq 1)のベクトル\overrightarrow{\mbox{OP}},~\overrightarrow{\mbox{OQ}},~\overrightarrow{\mbox{OR}},~\overrightarrow{\mbox{OS}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}およびtを用いて表せ.
(2) 線分PRと線分QSが交点Mをもつときのt~(0 \leqq t \leqq 1)の値を求め,ベクトル\overrightarrow{\mbox{OM}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.

解答

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