共面条件2

共面条件の続きです。より積極的に共面条件を利用する問題です。

1.
四面体OABCがある.\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とする.
(1) \bigtriangleupABCを含む平面上の点Pについて
\overrightarrow{\mbox{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c},~s+t+u=1
が成り立つことを示せ.
(2) \overrightarrow{\mbox{OQ}}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c},~x+2y+3z=1の形で表される点Qはどんな平面上にあるか.

2.(図書館情報大)
原点O,点A, B, Cを同一平面上にはない空間内の4点とし,点Xに対する位置ベクトル\overrightarrow{\mbox{OX}}=p\overrightarrow{\mbox{OA}}+q\overrightarrow{\mbox{OB}}+r\overrightarrow{\mbox{OC}}で表す.(p,~q,~rは実数).以下のそれぞれについて,Xが与えられた条件を満たすとき,p,~q,~rが満たすべき必要十分条件を求めよ.
(1) Xは,平面ABC上にある.
(2) Xは,線分AB上にある.
(3) Xは,三角形ABCの重心と原点Oを通る直線上にある.
(4) Xは,平面OABと平行で,点Cを通る平面上にある.
(5) Xは,三角形ABCの内部または辺上にある.

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