共面条件3

2018年1月25日

2の続きです。典型問題をいくつか。

1.(早稲田大)
四面体OABCの辺ABを4:5に内分する点をD,辺OCを2:1に内分する点をEとし,線分DEの中点をP,直線OPが平面ABCと交わる点をQとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とおくとき,\overrightarrow{\mbox{OP}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}で表せ.また,\overrightarrow{\mbox{OP}}\overrightarrow{\mbox{OQ}}の大きさの比|\overrightarrow{\mbox{OP}}|:|\overrightarrow{\mbox{OQ}}|を最も簡単な整数比で表せ.
(2) 三角形ABQと三角形ABCの面積比\bigtriangleup\mbox{ABQ}:\bigtriangleup\mbox{ABC}を最も簡単な整数比で表せ.

2.(慶応大)
空間内に異なる4点O, A, B, Cを考える.O, A, B, Cは同一平面上にはないものとする.線分ABを2:1に内分する点をL,線分BCの中点をMとし,直線CLと直線AMの交点をKとする.ベクトル\overrightarrow{\mbox{OK}}\overrightarrow{\mbox{OK}}=(~~~~~)\overrightarrow{\mbox{OA}}+(~~~~~)\overrightarrow{\mbox{OB}}+(~~~~~)\overrightarrow{\mbox{OC}}となる.
次に点P, Q, Rを\overrightarrow{\mbox{OP}}=3\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OQ}}=4\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OR}}=2\overrightarrow{\mbox{OC}}を満たすようにとる.点P, Q, Rの定める平面と直線OKの交点をSとする.ベクトル\overrightarrow{\mbox{OS}}\overrightarrow{\mbox{OS}}=(~~~~~)\overrightarrow{\mbox{OA}}+(~~~~~)\overrightarrow{\mbox{OB}}+(~~~~~)\overrightarrow{\mbox{OC}}となる.

3.(日本大)
平行六面体ABCD-EFGHにおいて,CDの中点をM,EHの中点をN,対角線AGと平面BEDの交点をP,平面FMNとの交点をQとする,\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AD}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{AE}}=\vec{c}とするとき,\overrightarrow{\mbox{AG}},~\overrightarrow{\mbox{AP}},~\overrightarrow{\mbox{AQ}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}で表せ.

4.(横浜国立大)
四面体OABCがあり,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とする.三角形ABCの重心をGとする.点D, E, Pを\overrightarrow{\mbox{OD}}=2\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OE}}=3\vec{c},~\overrightarrow{\mbox{OP}}=6\overrightarrow{\mbox{OG}}を満たす点とし,平面ADEと直線OPの交点をQとする.
(1) \overrightarrow{\mbox{OQ}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) 三角形ADEの面積をS_1,三角形QDEの面積をS_2とするとき,\dfrac{S_2}{S_1}を求めよ.
(3) 四面体OADEの体積をV_1,四面体PQDEの体積をV_2とするとき,\dfrac{V_2}{V_1}を求めよ.

5.(九州大)
四面体OABCにおいて,点Gを\overrightarrow{\mbox{OG}}=k(\overrightarrow{\mbox{OA}}+\overrightarrow{\mbox{OB}}+\overrightarrow{\mbox{OC}})である点とする.3点P, Q, Rを,\overrightarrow{\mbox{OP}}=p\overrightarrow{\mbox{OA}},~\overrightarrow{\mbox{OQ}}=q\overrightarrow{\mbox{OB}},~\overrightarrow{\mbox{OR}}=r\overrightarrow{\mbox{OC}}~(0<p<1,~0<q<1,~0<r<1)である点とする.
(1) 点Gが四面体OABCの内部にあるとき,kのみたすべき条件を求めよ.ただし,四面体の内部とは,四面体からその表面を除いた部分を指す.
(2) 四面体OABCと四面体OPQRの体積をそれぞれV,~V'とするとき,\dfrac{V'}{V}p,~q,~rを用いて表せ.
(3) 4点G, P, Q, Rが同一平面上にあるとき,kp,~q,~rを用いて表せ.
(4) p=3k=\dfrac{1}{2}であって,4点G, P, Q, Rが同一平面上にあるとき,\dfrac{V'}{V}の最小値を求めよ.

解答

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