共面条件4

3の続きです。次も典型問題です。

1.(宮城教育大)
四面体OABCと点Pについて,6\overrightarrow{\mbox{OP}}+3\overrightarrow{\mbox{AP}}+2\overrightarrow{\mbox{BP}}+4\overrightarrow{\mbox{CP}}=\vec{0}が成り立っている.\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とするとき,
(1) 3点A, B, Cを通る平面と直線OPとの交点をQとするとき,\overrightarrow{\mbox{OQ}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(2) 直線AQと辺BCとの交点をRとするとき,四面体OABCの体積Vに対する四面体PABRの体積Wの比\dfrac{W}{V}を求めよ.

2.(静岡大)
四面体OABCとその内部の点Pがあり,2\overrightarrow{\mbox{OP}}+3\overrightarrow{\mbox{AP}}+5\overrightarrow{\mbox{BP}}+7\overrightarrow{\mbox{CP}}=\vec{0}を満たしている.\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}},~\vec{p}=\overrightarrow{\mbox{OP}}とおくとき
(1) \overrightarrow{\mbox{AP}}\vec{p},~\vec{a}で表せ.
(2) \vec{p}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}で表せ.
(3) 直線OPと底面ABCとの交点をTとするとき,\overrightarrow{\mbox{OT}}\vec{p}で表せ.
(4) 4つの四面体,すなわち,四面体PABC, PBCO, PCOA, POABの体積の比を求めよ.

3.(防衛医大)
同一平面上にない異なる4点A, B, C, Dに対して,条件
k\overrightarrow{\mbox{AP}}+2\overrightarrow{\mbox{BP}}+3\overrightarrow{\mbox{CP}}+4\overrightarrow{\mbox{DP}}=\vec{0},~k>-9
を満たす点Pがある.
(1) kk>-9の範囲の任意の値をとるとき,点Pの集合はどのような図形になるか.
(2) 線分ABを2:1に内分する点をR,線分ACを3:1に内分する点をS,線分ADを1:1に内分する点をTとする.点Pが平面RST上にあるときのkの値を求めよ.また,そのとき,直線TPと直線RSとの交点をQとして,\mbox{TP}:\mbox{PQ}および\mbox{RQ}:\mbox{QS}を求めよ.さらに,面積比\bigtriangleup\mbox{PRS}:\bigtriangleup\mbox{PST}:\bigtriangleup\mbox{PTR}を求めよ.
(3) \angle\mbox{BAC}=\angle\mbox{BAD}=60^{\circ},~\mbox{AB}=2,~\mbox{AC}=\mbox{AD}=1のとき,AP=BPとなるようなkの値を求めよ.

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