共面条件４

2018年1月9日

３の続きです。次も典型問題です。

１．(宮城教育大)
四面体OABCと点Pについて， $6\overrightarrow{\mbox{OP}}+3\overrightarrow{\mbox{AP}}+2\overrightarrow{\mbox{BP}}+4\overrightarrow{\mbox{CP}}=\vec{0}$ が成り立っている． $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とするとき，
(1) 3点A, B, Cを通る平面と直線OPとの交点をQとするとき， $\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ を $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ を用いて表せ．
(2) 直線AQと辺BCとの交点をRとするとき，四面体OABCの体積 $V$ に対する四面体PABRの体積 $W$ の比 $\dfrac{W}{V}$ を求めよ．

２．(静岡大)
四面体OABCとその内部の点Pがあり， $2\overrightarrow{\mbox{OP}}+3\overrightarrow{\mbox{AP}}+5\overrightarrow{\mbox{BP}}+7\overrightarrow{\mbox{CP}}=\vec{0}$ を満たしている． $\vec{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}},~\vec{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}},~\vec{c}=\overrightarrow{\mbox{OC}},~\vec{p}=\overrightarrow{\mbox{OP}}$ とおくとき
(1) $\overrightarrow{\mbox{AP}}$ を $\vec{p},~\vec{a}$ で表せ．
(2) $\vec{p}$ を $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ で表せ．
(3) 直線OPと底面ABCとの交点をTとするとき， $\overrightarrow{\mbox{OT}}$ を $\vec{p}$ で表せ．
(4) 4つの四面体，すなわち，四面体PABC, PBCO, PCOA, POABの体積の比を求めよ．

３．(防衛医大)
同一平面上にない異なる4点A, B, C, Dに対して，条件
$k\overrightarrow{\mbox{AP}}+2\overrightarrow{\mbox{BP}}+3\overrightarrow{\mbox{CP}}+4\overrightarrow{\mbox{DP}}=\vec{0},~k>-9$
を満たす点Pがある．
(1) $k$ が $k>-9$ の範囲の任意の値をとるとき，点Pの集合はどのような図形になるか．
(2) 線分ABを $2:1$ に内分する点をR，線分ACを $3:1$ に内分する点をS，線分ADを $1:1$ に内分する点をTとする．点Pが平面RST上にあるときの $k$ の値を求めよ．また，そのとき，直線TPと直線RSとの交点をQとして， $\mbox{TP}:\mbox{PQ}$ および $\mbox{RQ}:\mbox{QS}$ を求めよ．さらに，面積比 $\bigtriangleup\mbox{PRS}:\bigtriangleup\mbox{PST}:\bigtriangleup\mbox{PTR}$ を求めよ．
(3) $\angle\mbox{BAC}=\angle\mbox{BAD}=60^{\circ},~\mbox{AB}=2,~\mbox{AC}=\mbox{AD}=1$ のとき，AP=BPとなるような $k$ の値を求めよ．

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