内積2

内積の計算規則の問題です。平面のときと同じです。

1.(新潟大)
直方体ABCD-EFGHにおいてAB=4, AD=2, AE=1とする.\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{AD}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{AE}}=\vec{c}とするとき
(1) \overrightarrow{\mbox{AG}},~\overrightarrow{\mbox{BH}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}で表せ.
(2) 内積\overrightarrow{\mbox{AG}}\cdot\overrightarrow{\mbox{BH}}を求めよ.
(3) \overrightarrow{\mbox{AG}}\overrightarrow{\mbox{BH}}のなす角が120°より大きいか小さいか調べよ.

2.(奈良県立医大)
各辺の長さが2である正四面体ABCDにおいて,辺ABを2:1に内分する点をP,辺CDを3:2に内分する点をQとするとき,2つのベクトル\overrightarrow{\mbox{PQ}},~\overrightarrow{\mbox{AC}}の内積\overrightarrow{\mbox{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AC}}を求めよ.

3.(広島市立大)
1辺の長さが1である正四面体OABCにおいて,OAを3:1に内分する点をP,ABを2:1に内分する点をQ,BCを1:2に内分する点をR,OCを2:1に内分する点をSとする.\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とおくとき,
(1) 内積\vec{a} \cdot \vec{b},~\vec{b} \cdot \vec{c},~\vec{c} \cdot \vec{a}をそれぞれ求めよ.
(2) \overrightarrow{\mbox{PR}}および\overrightarrow{\mbox{QS}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}を用いて表せ.
(3) \overrightarrow{\mbox{PR}}\overrightarrow{\mbox{QS}}のなす角を\thetaとするとき,\thetaは鋭角,直角,鈍角のいずれであるかを調べよ.
(4) 線分PRと線分QSは交点をもつかどうかを調べよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ