内積３

2018年1月9日2018年1月25日

ベクトルの直交条件の問題です。

１．(愛媛大)
四面体ABCDにおいて $\overrightarrow{\mbox{AC}}$ と $\overrightarrow{\mbox{BD}}$ が垂直となる必要十分条件は
$\mbox{AD}^2+\mbox{BC}^2=\mbox{AB}^2+\mbox{CD}^2$
であることを示せ．

２．(奈良県立医大)
四面体ABCDにおいて， $\bigtriangleup$ ACD, $\bigtriangleup$ BCDがともに正三角形であるとき，次のことを示せ．
(1) $\mbox{AB}\bot\mbox{CD}$
(2) 辺ABの中点Mおよび辺CDの中点Nに対し， $\mbox{MN}\bot\mbox{AB}$ かつ $\mbox{MN}\bot\mbox{CD}$

３．(弘前大)
正四面体ABCDにおいて， $\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{AC}}=\vec{c},~\overrightarrow{\mbox{AD}}=\vec{d}$ とし，辺AB, AC, CD, BDの中点をそれぞれP, Q, R, Sとする．このとき，4点P, Q, R, Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．

４．(徳島大)
三角柱CDE-OABにおいて， $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおき， $|\vec{a}|=\sqrt{3},~|\vec{b}|=\sqrt{5},~|\vec{c}|=4,~\vec{a}\cdot\vec{b}=1,~\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}=0$ とする．辺AD, BE上にそれぞれ点P, Qをとり， $\mbox{AP}=s,~\mbox{BQ}=t$ とおく．
(1) $\overrightarrow{\mbox{OP}},~\overrightarrow{\mbox{PQ}}$ を $\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}$ および $s,~t$ を用いて表せ．
(2) $\mbox{OP}\bot\mbox{PQ}$ となるとき， $t$ を $s$ を用いて表せ．
(3) $\bigtriangleup$ OPQが $\mbox{OP}=\mbox{PQ}$ の直角二等辺三角形となるように， $s,~t$ の値を定めよ．