内積3

2018年1月25日

ベクトルの直交条件の問題です。

1.(愛媛大)
四面体ABCDにおいて\overrightarrow{\mbox{AC}}\overrightarrow{\mbox{BD}}が垂直となる必要十分条件は
\mbox{AD}^2+\mbox{BC}^2=\mbox{AB}^2+\mbox{CD}^2
であることを示せ.

2.(奈良県立医大)
四面体ABCDにおいて,\bigtriangleupACD, \bigtriangleupBCDがともに正三角形であるとき,次のことを示せ.
(1) \mbox{AB}\bot\mbox{CD}
(2) 辺ABの中点Mおよび辺CDの中点Nに対し,\mbox{MN}\bot\mbox{AB}かつ\mbox{MN}\bot\mbox{CD}

3.(弘前大)
正四面体ABCDにおいて,\overrightarrow{\mbox{AB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{AC}}=\vec{c},~\overrightarrow{\mbox{AD}}=\vec{d}とし,辺AB, AC, CD, BDの中点をそれぞれP, Q, R, Sとする.このとき,4点P, Q, R, Sは同一平面上にあることを示し,さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ.

4.(徳島大)
三角柱CDE-OABにおいて,\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a},~\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b},~\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}とおき,|\vec{a}|=\sqrt{3},~|\vec{b}|=\sqrt{5},~|\vec{c}|=4,~\vec{a}\cdot\vec{b}=1,~\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}=0とする.辺AD, BE上にそれぞれ点P, Qをとり,\mbox{AP}=s,~\mbox{BQ}=tとおく.
(1) \overrightarrow{\mbox{OP}},~\overrightarrow{\mbox{PQ}}\vec{a},~\vec{b},~\vec{c}およびs,~tを用いて表せ.
(2) \mbox{OP}\bot\mbox{PQ}となるとき,tsを用いて表せ.
(3) \bigtriangleupOPQが\mbox{OP}=\mbox{PQ}の直角二等辺三角形となるように,s,~tの値を定めよ.

解答

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