内積4

2018年1月25日

次は数ベクトル (成分表示)の内積です。

1.((2) 信州大)
(1) 1直線上にない3点A(-4,7,-4), B(-3,5,-2), C(-5,3,-3)を頂点とする\bigtriangleupABCの内角の大きさをすべて求めよ.
(2) 空間に定点A(0,4,2), B(2\sqrt{3},2,2)と動点P(0,0,p)がある.\angle\mbox{APB}の大きさ\theta~(0 \leqq \theta \leqq \pi)の最大値と,そのときのpの値を求めよ.

2.(岩手大)
座標空間内に2点A(0,3,0), B(0,-3,0)を直径の両端とする球面Sを考える.S上に点P(x,y,z)をとり,S外に点Q(3,4,5)をとる.
(1) 球面Sの方程式を求めよ.
(2) ベクトル\overrightarrow{\mbox{AP}}とベクトル\overrightarrow{\mbox{BP}}の内積は,点Pが球面S上のどこにあっても必ず0になることを証明せよ.
(3) 原点をOで表すとき,ベクトル\overrightarrow{\mbox{OQ}}の大きさとベクトル\overrightarrow{\mbox{OP}}の大きさを求めよ.
(4) 点P(x,y,z)が球面S上を動くとき,3x+4y+5zの最大値を求めよ.また,そのときのPの座標を求めよ.

解答

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