内積４

2018年1月10日2018年1月25日

次は数ベクトル (成分表示)の内積です。

１．((2) 信州大)
(1) 1直線上にない3点A $(-4,7,-4)$ , B $(-3,5,-2)$ , C $(-5,3,-3)$ を頂点とする $\bigtriangleup$ ABCの内角の大きさをすべて求めよ．
(2) 空間に定点A $(0,4,2)$ , B $(2\sqrt{3},2,2)$ と動点P $(0,0,p)$ がある． $\angle\mbox{APB}$ の大きさ $\theta~(0 \leqq \theta \leqq \pi)$ の最大値と，そのときの $p$ の値を求めよ．

２．(岩手大)
座標空間内に2点A $(0,3,0)$ , B $(0,-3,0)$ を直径の両端とする球面 $S$ を考える． $S$ 上に点P $(x,y,z)$ をとり， $S$ 外に点Q $(3,4,5)$ をとる．
(1) 球面 $S$ の方程式を求めよ．
(2) ベクトル $\overrightarrow{\mbox{AP}}$ とベクトル $\overrightarrow{\mbox{BP}}$ の内積は，点Pが球面 $S$ 上のどこにあっても必ず0になることを証明せよ．
(3) 原点をOで表すとき，ベクトル $\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ の大きさとベクトル $\overrightarrow{\mbox{OP}}$ の大きさを求めよ．
(4) 点P $(x,y,z)$ が球面 $S$ 上を動くとき， $3x+4y+5z$ の最大値を求めよ．また，そのときのPの座標を求めよ．